Determine a solução para a equação: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa equação faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a isolar de um lado e do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Lembre-se que é a derivada de em relação a , ou seja, .
Então, temos:
Vamos isolar e :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada seja .
A integral do lado esquerdo é:
E do lado direito:

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Sabemos que:
No nosso caso, , então . Aplicando isso:

Passo 5

A integral do lado direito é mais simples:
Então, juntando as duas integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos isolar para encontrar a solução geral da equação. Multiplicamos ambos os lados por :
Onde .
Aplicando a função tangente dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(b)
[Desafio] Considere o elipsóide e suponda .
i) Dado o ponto encontre dois círculos passando por e inteiramente contidos no elipsóide.
ii) Calcule a interseção dos dois círculos obtidos no item i) com a elipse contida no plano .
iii) Dado o ponto encontre dois círculos passando por e inteiramente contidos no elipsóide.
iv) Mostre que com exceção dos e pontos obtidos no item ii) por todo ponto do elipsóide passa exatamente dois círculos inteiramente contidos no elipsóide. Faça figuras ilustrando geometricamente.
Sejam e o conjunto de vetores em , onde
Determine o valor de para que não seja uma base de .
Encontre o fator integrante e resolva: