Determine a solução para a equação: y^prime=3+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa equação faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a isolar de um lado e do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis dydx = 3 + y^2 e dy3 + y^2 = dx . Lembre-se que é a derivada de em relação a , ou seja, .
Então, temos:
Vamos isolar e :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada seja integral dy3 + y^2 .
A integral do lado esquerdo é:
integral dx
E do lado direito:

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Sabemos que:
integral dya^2 + y^2 = 1a tan^-1(ya) + C
No nosso caso, integral dy3 + y^2 = 1raiz3 tan^-1(yraiz3) + C , então . Aplicando isso:

Passo 5

A integral do lado direito é mais simples:
integral dx = x + C
Então, juntando as duas integrais:
1raiz3 tan^-1(yraiz3) = x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos isolar tan^-1(yraiz3) = raiz3x + C' para encontrar a solução geral da equação. Multiplicamos ambos os lados por yraiz3 = tan(raiz3x + C') :
y = raiz3 tan(raiz3x + C')
Onde .
Aplicando a função tangente dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial y = raiz3 tan(raiz3x + C) é:
Onde é a constante de integração.

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