Desafio (EPCAr-MG) Sejam a e b dois números reais positivos. As retas r e s se intersectam no ponto (a, b). Se (a2, 0) in r e (0, b2) in s, então uma equação para a reta t, que passa por (0,0) e tem tangente do ângulo agudo formado entre r e s como coeficiente angular, é
(a) 3 a b x+(2 a^2-b^2) y=0
(b) 3 b x-b(a^2+b^2) y=0
© 3 a b x-a(a^2+b^2) y=0
(d) 3 a b x-2(a^2+b^2) y=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois números positivos, e , e duas retas e que se cruzam no ponto . Além disso, sabemos que o ponto está na reta e o ponto está na reta . A missão é encontrar a equação da reta , que passa pela origem e tem como coeficiente angular a tangente do ângulo agudo formado entre as retas e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas e cálculo de ângulos entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as equações das retas mr = 0 - ba2 - a = -b-a2 = 2ba e b = 2ba cdot a + c Rightarrow b = 2b + c Rightarrow c = -b . Sabemos que ambas passam pelo ponto de interseção y = 2bax - b .
Para a reta , temos dois pontos:
Vamos usar a fórmula da inclinação (coeficiente angular) para encontrar o coeficiente angular de :
Agora, usando a forma da equação da reta e sabendo que passa por , podemos encontrar :
Então, a equação da reta é:

Passo 3

Vamos repetir o processo para a reta ms = b2 - b0 - a = -b2-a = b2a . Ela também passa por b = b2a cdot a + c Rightarrow b = b2 + c Rightarrow c = b2 e por y = b2ax + b2 .
Calculando o coeficiente angular de :
Usando a forma e sabendo que passa por :
Portanto, a equação da reta é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a tangente do ângulo agudo tan(theta) = | mr - ms1 + mr ms | entre as retas mr = 2ba, ms = b2a e tan(theta) = | 2ba - b2a1 + 2ba cdot b2a | = | 4b - b2a1 + 2b^22a^2 | = | 3b2a1 + b^2a^2 | . A fórmula para a tangent de tan(theta) = 3b2a + b^2/a = 3b2a^2 + b^2a = 3ab2a^2 + b^2 é:
Onde e são os coeficientes angulares das retas e , respectivamente.
Substituindo os valores que encontramos:
Então:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos y = tan(theta) x = 3ab2a^2 + b^2 x , podemos escrever a equação da reta (2a^2 + b^2) y = 3ab x . Sabemos que 3ab x - (2a^2 + b^2) y = 0 passa pela origem e tem como coeficiente angular .
A equação da reta é então:
Para colocar essa equação em uma forma que corresponda às opções fornecidas, vamos reorganizar os termos:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:

Passo 6

Comparando a equação que obtivemos com as opções fornecidas:
3ab x - (2a^2 + b^2) y = 0
Observamos que essa equação corresponde à opção (d):
3 a b x - 2(a^2+b^2) y=0

Resposta

A resposta correta é a letra (d):
3 a b x - 2(a^2+b^2) y=0

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