Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois números positivos, e , e duas retas e que se cruzam no ponto . Além disso, sabemos que o ponto está na reta e o ponto está na reta . A missão é encontrar a equação da reta , que passa pela origem e tem como coeficiente angular a tangente do ângulo agudo formado entre as retas e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas e cálculo de ângulos entre duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as equações das retas e . Sabemos que ambas passam pelo ponto de interseção .
Para a reta , temos dois pontos:
Vamos usar a fórmula da inclinação (coeficiente angular) para encontrar o coeficiente angular de :
Agora, usando a forma da equação da reta e sabendo que passa por , podemos encontrar :
Então, a equação da reta é:
Passo 3
Vamos repetir o processo para a reta . Ela também passa por e por .
Calculando o coeficiente angular de :
Usando a forma e sabendo que passa por :
Portanto, a equação da reta é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a tangente do ângulo agudo entre as retas e . A fórmula para a tangent de é:
Onde e são os coeficientes angulares das retas e , respectivamente.
Substituindo os valores que encontramos:
Então:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos , podemos escrever a equação da reta . Sabemos que passa pela origem e tem como coeficiente angular .
A equação da reta é então:
Para colocar essa equação em uma forma que corresponda às opções fornecidas, vamos reorganizar os termos:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:
Passo 6
Comparando a equação que obtivemos com as opções fornecidas:
Observamos que essa equação corresponde à opção (d):