Desafio (EPCAr-MG) Sejam e dois números reais positivos. As retas e se intersectam no ponto . Se e , então uma equação para a reta , que passa por tem tangente do ângulo agudo formado entre e como coeficiente angular, é
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois números positivos, e , e duas retas e que se cruzam no ponto . Além disso, sabemos que o ponto está na reta e o ponto está na reta . A missão é encontrar a equação da reta , que passa pela origem e tem como coeficiente angular a tangente do ângulo agudo formado entre as retas e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas e cálculo de ângulos entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as equações das retas e . Sabemos que ambas passam pelo ponto de interseção .
Para a reta , temos dois pontos:
Vamos usar a fórmula da inclinação (coeficiente angular) para encontrar o coeficiente angular de :
Agora, usando a forma da equação da reta e sabendo que passa por , podemos encontrar :
Então, a equação da reta é:

Passo 3

Vamos repetir o processo para a reta . Ela também passa por e por .
Calculando o coeficiente angular de :
Usando a forma e sabendo que passa por :
Portanto, a equação da reta é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a tangente do ângulo agudo entre as retas e . A fórmula para a tangent de é:
Onde e são os coeficientes angulares das retas e , respectivamente.
Substituindo os valores que encontramos:
Então:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos , podemos escrever a equação da reta . Sabemos que passa pela origem e tem como coeficiente angular .
A equação da reta é então:
Para colocar essa equação em uma forma que corresponda às opções fornecidas, vamos reorganizar os termos:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:

Passo 6

Comparando a equação que obtivemos com as opções fornecidas:
Observamos que essa equação corresponde à opção (d):

Resposta

A resposta correta é a letra (d):

Exercícios relacionados

Determine o ângulo formado pelas retas.
e .
(EEAR-SP) Considere os pontos e e a reta . Se e são, respectivamente, as distâncias de e de até a reta , é correto afirmar que
(a)
(b)
©
(d)
Discuta a posição relativa entre os pares de retas dados e determine o ponto de interseção caso elas sejam cocorrentes.
e
Em cada item, determine equações paramétricas para a reta que satisfaz às condições dadas.
Passa pelo ponto e é ortogonal ao plano .