Determine o ângulo formado pelas retas.
r:rrry & = & -2 x-1 z & x & x e s: x=2, y3=z+1-3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o ângulo entre duas retas definidas por certas equações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores direcionais e a fórmula que calcula o ângulo entre dois vetores na geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores direcionais de cada reta. Isso significa identificar as direções em que cada reta está apontando no espaço. Para isso, vamos expressar as equações das retas de forma paramétrica.

Passo 3

Vamos começar com a reta r. As equações dadas são:
y = -2x - 1 z = x
Podemos definir y = -2t - 1 z = t (onde x = t, y = -2t - 1, z = t é um parâmetro). Assim, temos:
Então, as equações paramétricas da reta r ficam:
O vetor direcional da reta r é dado pelos coeficientes de , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos para a reta s. As equações dadas são:
x = 2 y3 = z + 1-3
Podemos simplificar a segunda equação:
y = - (z + 1)
Vamos definir y = -t - 1 x = 2 . Então:
x = 2, y = -t - 1, z = t
As equações paramétricas da reta s ficam:
O vetor direcional da reta s é .

Passo 5

Agora que temos os vetores direcionais das duas retas, podemos usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo cos theta = vr cdot vs|vr| cdot |vs| entre elas:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes dos vetores.

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar vr cdot vs = (1)(0) + (-2)(-1) + (1)(1) = 0 + 2 + 1 = 3 :

Passo 7

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
|vr| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
|vs| = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2

Passo 8

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 3raiz6 cdot raiz2 = 3raiz12 = 32raiz3 = 3raiz36 = raiz32

Passo 9

Agora, para encontrar o ângulo theta = arccos(raiz32) = 30^circ , usamos o arco cosseno:

Resposta

O ângulo formado pelas retas é de 30 graus.

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