(EEAR-SP) Considere os pontos A=(2,3) e B=(4,1) e a reta r: 3 x+4 y=0. Se dA, r e dB, r são, respectivamente, as distâncias de A e de B até a reta r, é correto afirmar que
(a) dA, r>dB, r
(b) dA, r
© dA, r=dB, r
(d) dA, r=2 dB, r

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve geometria analítica, mais especificamente o cálculo da distância de um ponto até uma reta. Precisamos encontrar as distâncias dos pontos A=(2,3) e B=(4,1) até a reta r: 3x + 4y = 0 e comparar essas distâncias para ver qual alternativa está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto (x0, y0) até uma reta dada pela equação geral Ax + By + C = 0. A fórmula é:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2
Essa fórmula nos dá a distância perpendicular do ponto até a reta.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes da equação da reta r: 3x + 4y = 0. Comparando com a forma geral Ax + By + C = 0, temos:
  • A = 3
  • B = 4
  • C = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância do ponto A=(2,3) até a reta r usando a fórmula:
dA, r = |3 cdot 2 + 4 cdot 3 + 0|raiz3^2 + 4^2 = |6 + 12|5 = 185 = 3,6

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a distância do ponto B=(4,1) até a reta r:
dB, r = |3 cdot 4 + 4 cdot 1 + 0|raiz3^2 + 4^2 = |12 + 4|5 = 165 = 3,2

Passo 6

Agora que temos as duas distâncias:
  • dA, r = 3,6
  • dB, r = 3,2
Podemos comparar os valores:
3,6 > 3,2

Resposta

A alternativa correta é a (a) dA, r > dB, r.

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