Desafio: Seja
.
(a) Encontre um número real
tal que, se
(b) Repita o exercício anterior
e
;
© Encontre um
para um
arbitrário, e conclua que
.
(a) Encontre um número real
© Encontre um
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função
. O conteúdo aqui é sobre limites, especificamente usando a definição de limite com
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar
(a proximidade do valor que a função está se aproximando) com
(a proximidade de
em relação ao ponto que estamos avaliando, que é
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, à medida que
se aproxima de 2,
se aproxima de 6. Matematicamente, para qualquer
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 3
Vamos resolver parte (a) onde
. Queremos achar um
tal que se
, então
.
Passo 4
Calcular
:
Queremos que isso seja menor que 1:
Passo 5
Resolvendo
:
Isso significa:
Isso significa:
Tomando a raiz cúbica:
Como
, podemos estimar que:
Para simplificar, vamos escolher
, já que
e
. Com
, garantimos que
está próximo o suficiente de 2.
Passo 6
Então, para
, podemos escolher
. Assim, se
, então
.
Resposta
Para
, escolhemos
.
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possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
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possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
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D) Obtenha um fator integrante da forma para a equação
D) Obtenha um fator integrante da forma
e resolva-a.