Desafio: Seja f(x)=x^3-2.
(a) Encontre um número real de0 tal que, se
0<|x-2|ã
(b) Repita o exercício anterior com epsilon=0,1 e epsilon=0,01;
© Encontre um de0 para um epsilon>0 arbitrário, e conclua que lim x 2 f(x)=6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função . O conteúdo aqui é sobre limites, especificamente usando a definição de limite com e . Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar (a proximidade do valor que a função está se aproximando) com (a proximidade de em relação ao ponto que estamos avaliando, que é ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, à medida que se aproxima de 2, se aproxima de 6. Matematicamente, para qualquer , existe um tal que se , então .

Passo 3

Vamos resolver parte (a) onde . Queremos achar um tal que se , então .

Passo 4

Calcular |f(x) - 6| = |x^3 - 2 - 6| = |x^3 - 8| :
|x^3 - 8| < 1
Queremos que isso seja menor que 1:

Passo 5

Resolvendo 7 < x^3 < 9 :
Isso significa:
raiz[3]7 < x < raiz[3]9
Tomando a raiz cúbica:
2 - de
Como , podemos estimar que:
Para simplificar, vamos escolher , já que e . Com , garantimos que está próximo o suficiente de 2.

Passo 6

Então, para , podemos escolher . Assim, se , então .

Resposta

Para , escolhemos .

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