Responda os itens a seguir sobre fatores integrantes:
D) Obtenha um fator integrante da forma h(x, y) = x^m * y^n para a equação
y(y^2-1) dx + x(y^2-1) ln x dy = 0
e resolva-a.

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos a equação diferencial
e queremos encontrar um fator integrante da forma que nos ajude a resolver a equação.
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar o conceito de fator integrante para tornar a equação diferencial exata. Isso envolve encontrar uma função que, quando multiplicada pela equação original, permite integrar facilmente.

Passo 2

Encontrando o Fator Integrante:
Assumimos que o fator integrante é da forma . Multiplicamos a equação original por :
Substituindo :

Passo 3

Condição de Exatidão:
Para que a equação seja exata, deve satisfazer:
Calculando cada derivada:

Passo 4

Igualando as Derivadas:
Para a condição de exatidão:
Podemos cancelar de ambos os lados:

Passo 5

Resolvendo para e :
Observamos que o lado direito tem um termo com e o lado esquerdo não. Para que a igualdade seja válida para todo e , o coeficiente de deve ser zero:
Substituindo na equação, temos:
Simplificando:
Dividindo por (assumindo ):
Distribuindo:
Como isso deve valer para todo , igualamos os coeficientes:
E,
Aqui, vemos uma contradição: e . Isso significa que não existe um fator integrante da forma que torne a equação exata.

Resposta

Não existe um fator integrante da forma que torne a equação exata.

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