Responda os itens a seguir sobre fatores integrantes:
D) Obtenha um fator integrante da forma
para a equação
e resolva-a.
D) Obtenha um fator integrante da forma
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Temos a equação diferencial
Temos a equação diferencial
e queremos encontrar um fator integrante da forma
que nos ajude a resolver a equação.
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar o conceito de fator integrante para tornar a equação diferencial exata. Isso envolve encontrar uma função que, quando multiplicada pela equação original, permite integrar facilmente.
Vamos utilizar o conceito de fator integrante para tornar a equação diferencial exata. Isso envolve encontrar uma função que, quando multiplicada pela equação original, permite integrar facilmente.
Passo 2
Encontrando o Fator Integrante:
Assumimos que o fator integrante é da forma . Multiplicamos a equação original por
:
Assumimos que o fator integrante é da forma
Substituindo
:
Passo 3
Condição de Exatidão:
Para que a equação seja exata, deve satisfazer:
Para que a equação seja exata, deve satisfazer:
Calculando cada derivada:
Passo 4
Igualando as Derivadas:
Para a condição de exatidão:
Para a condição de exatidão:
Podemos cancelar
de ambos os lados:
Passo 5
Resolvendo para
e
:
Observamos que o lado direito tem um termo com e o lado esquerdo não. Para que a igualdade seja válida para todo
e
, o coeficiente de
deve ser zero:
Observamos que o lado direito tem um termo com
Substituindo
na equação, temos:
Simplificando:
Dividindo por
(assumindo
):
Distribuindo:
Como isso deve valer para todo
, igualamos os coeficientes:
E,
Aqui, vemos uma contradição:
e
. Isso significa que não existe um fator integrante da forma
que torne a equação exata.
Resposta
Não existe um fator integrante da forma
que torne a equação
exata.