Desafio: Utilizando derivação implícita, calcule , sendo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de em usando derivação implícita. A função que temos é . Isso significa que se repete dentro dela mesma. Para resolver isso, vamos usar algumas regras de derivação e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida de forma que dentro da raiz quadrada a gente tem a própria função multiplicada por . Então, podemos escrever isso de forma mais simples:
Isso ajuda a gente a trabalhar melhor com a função.

Passo 3

Agora, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Isso simplifica a equação e facilita a derivação.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para deixar tudo em um lado:
Assim, temos uma equação que relaciona e .

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então vamos usar a regra da cadeia:
Aqui, derivamos cada termo individualmente.

Passo 6

Vamos simplificar a equação derivada:
Agrupamos os termos com juntos.

Passo 7

Fatorando dos termos que o contêm:
Isolamos para encontrar sua expressão.

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Essa é a expressão geral para a derivada de em relação a .

Passo 9

Precisamos encontrar . Primeiro, vamos descobrir :
Agora, substituímos e na expressão da derivada:

Resposta

A derivada de em é .

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Encontre , sendo e .
Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área da superfície da mancha em relação ao tempo , sabendo que a taxa de variação do raio é .
Verifique se o seguinte cálculo está correto: