Desafio: Utilizando derivação implícita, calcule
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de
em
usando derivação implícita. A função que temos é
. Isso significa que
se repete dentro dela mesma. Para resolver isso, vamos usar algumas regras de derivação e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida de forma que dentro da raiz quadrada a gente tem a própria função multiplicada por
. Então, podemos escrever isso de forma mais simples:
Isso ajuda a gente a trabalhar melhor com a função.
Passo 3
Agora, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Isso simplifica a equação e facilita a derivação.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para deixar tudo em um lado:
Assim, temos uma equação que relaciona
e
.
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então vamos usar a regra da cadeia:
Aqui, derivamos cada termo individualmente.
Passo 6
Vamos simplificar a equação derivada:
Agrupamos os termos com
juntos.
Passo 7
Fatorando
dos termos que o contêm:
Isolamos
para encontrar sua expressão.
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Essa é a expressão geral para a derivada de
em relação a
.
Passo 9
Precisamos encontrar
. Primeiro, vamos descobrir
:
Agora, substituímos
e
na expressão da derivada:
Resposta
A derivada de
em
é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
funções deriváveis em
e tais que
. Sabendo-se que
e
, calcule o valor de
.
Encontre
, sendo
e
.
Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área
da superfície da mancha em relação ao tempo
, sabendo que a taxa de variação do raio é
.
Verifique se o seguinte cálculo está correto: