Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área da superfície da mancha em relação ao tempo , sabendo que a taxa de variação do raio é .

Passo 1

Então, temos um problema onde uma mancha de óleo se espalha de forma circular. A gente precisa descobrir como a área dessa mancha está mudando com o tempo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivados, que nos ajudam a entender como uma quantidade muda em relação a outra. Sabemos que a taxa de variação do raio da mancha é de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a área de um círculo é calculada. A fórmula para a área de um círculo com raio é:
Aqui, é uma constante aproximadamente igual a 3,14.

Passo 3

Queremos saber como a área está mudando com o tempo , ou seja, precisamos encontrar a derivada de em relação a , representada como .

Passo 4

Vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo . Usando a regra da cadeia no cálculo, temos:
Aqui, é a taxa de variação do raio em relação ao tempo, que já sabemos ser .

Passo 5

Agora, basta substituir na equação:
Isso nos dá a taxa de variação da área em função do raio atual da mancha.

Resposta

A taxa de variação da área da mancha em relação ao tempo é .

Exercícios relacionados

Desafio: Utilizando derivação implícita, calcule , sendo .
Sejam e funções deriváveis em e tais que . Sabendo-se que e , calcule o valor de .
Verifique se o seguinte cálculo está correto:
Uma função quadrática pode admitir ponto de inflexão?