Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área
da superfície da mancha em relação ao tempo
, sabendo que a taxa de variação do raio é
.
Passo 1
Então, temos um problema onde uma mancha de óleo se espalha de forma circular. A gente precisa descobrir como a área
dessa mancha está mudando com o tempo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivados, que nos ajudam a entender como uma quantidade muda em relação a outra. Sabemos que a taxa de variação do raio
da mancha é de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a área de um círculo é calculada. A fórmula para a área
de um círculo com raio
é:
Aqui,
é uma constante aproximadamente igual a 3,14.
Passo 3
Queremos saber como a área
está mudando com o tempo
, ou seja, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, representada como
.
Passo 4
Vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo
. Usando a regra da cadeia no cálculo, temos:
Aqui,
é a taxa de variação do raio em relação ao tempo, que já sabemos ser
.
Passo 5
Agora, basta substituir
na equação:
Isso nos dá a taxa de variação da área em função do raio atual da mancha.
Resposta
A taxa de variação da área da mancha em relação ao tempo é
.
Exercícios relacionados
Desafio: Utilizando derivação implícita, calcule
, sendo
.
Sejam
e
funções deriváveis em
e tais que
. Sabendo-se que
e
, calcule o valor de
.
Verifique se o seguinte cálculo está correto:
Uma função quadrática
pode admitir ponto de inflexão?