Sejam f e g funções deriváveis em R e tais que f(g(x)) = x, para todo x em R. Sabendo-se que f'(3) = 2 e g(0) = 3, calcule o valor de g'(0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções deriváveis e envolve conceitos de funções inversas. Precisamos usar a regra da cadeia para derivadas. Vamos descobrir o valor de sabendo que , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que é a função inversa de , ou seja, aplicar depois de retorna o valor inicial .

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Usamos a regra da cadeia para derivar a composição de funções. A derivada de é .
Então, temos:

Passo 4

Queremos encontrar . Sabemos que , então vamos substituir na equação derivada:
Substituindo :

Passo 5

Também sabemos que . Vamos substituir esse valor na equação:

Passo 6

Agora, é só resolver para :

Resposta

O valor de é .

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