Sejam
e
funções deriváveis em
e tais que
. Sabendo-se que
e
, calcule o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções deriváveis e envolve conceitos de funções inversas. Precisamos usar a regra da cadeia para derivadas. Vamos descobrir o valor de
sabendo que
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que
é a função inversa de
, ou seja, aplicar
depois de
retorna o valor inicial
.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
. Usamos a regra da cadeia para derivar a composição de funções. A derivada de
é
.
Então, temos:
Passo 4
Queremos encontrar
. Sabemos que
, então vamos substituir
na equação derivada:
Substituindo
:
Passo 5
Também sabemos que
. Vamos substituir esse valor na equação:
Passo 6
Agora, é só resolver para
:
Resposta
O valor de
é
.
Exercícios relacionados
Encontre
, sendo
e
.
Seja
um polinômio de grau
. Verifique que uma raiz de
é dupla quando ela for raiz do polinômio e da sua derivada primeira, mas não for raiz da derivada segunda.
Desafio: Utilizando derivação implícita, calcule
, sendo
.
Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área
da superfície da mancha em relação ao tempo
, sabendo que a taxa de variação do raio é
.