Determine a dimensão, o núcleo e a imagem das seguintes transformações.
T: Re^2 Re^3, T(x, y)=(x-y2, x-y2, 2 x+y);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! O enunciado pede para determinar a dimensão, o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matriz associada a uma transformação, núcleo (ou espaço nulo) e imagem (ou espaço gerado) para resolver isso. Precisamos montar a matriz dessa transformação e analisar suas propriedades para encontrar as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação linear A = 12 & -12 12 & -12 2 & 1 na forma de uma matriz. Como mapeia de para , a matriz associada terá 3 linhas e 2 colunas. Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores base de .
Para :
  • Quando e : .
  • Quando e : .
Então, a matriz de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de x - y2 = 0 x - y2 = 0 2x + y = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores x - y = 0 Rightarrow x = y em 2x + y = 0 que são mapeados para o vetor zero em 2x + x = 0 Rightarrow 3x = 0 Rightarrow x = 0 , ou seja, Núc<=o(T) = (0, 0) .
Isso significa resolver o sistema de equações:
As duas primeiras equações são iguais, então basicamente temos:
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Portanto, o núcleo de é apenas o vetor zero:
ú

Passo 4

Com o núcleo determinado, vamos agora encontrar a imagem de A = 12 & -12 12 & -12 2 & 1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores em 12 & -12 0 & 0 2 & 1 que podem ser obtidos através de 12 & -12 0 & 0 0 & 3 para algum em .
Para isso, observamos a matriz que montamos anteriormente:
Podemos ver que as duas primeiras linhas são iguais, então há dependência linear entre elas. Para encontrar a dimensão da imagem, precisamos determinar o posto (rank) da matriz .
Vamos simplificar a matriz por operações elementares:
  • Subtrair a primeira linha da segunda:
  • Subtrair 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
Agora, a matriz está em forma escalonada, e podemos ver que há 2 linhas não nulas. Portanto, o posto de é 2, o que significa que a dimensão da imagem de é 2.

Passo 5

Finalmente, vamos descrever a imagem de 12 12 2 , -12 -12 1 . Sabemos que a imagem é um subespaço de com dimensão 2, ou seja, é um plano passando pela origem.
Para encontrar uma base para a imagem, podemos pegar as colunas da matriz que são linearmente independentes. Já vimos que as duas primeiras linhas são iguais e a terceira é independente.
Usando os vetores das colunas de :
Podemos verificar que esses vetores são linearmente independentes e formam uma base para a imagem de .

Resposta

A transformação linear tem dimensão 2, o núcleo consiste apenas do vetor zero , e a imagem de é um subespaço de de dimensão 2, gerado pelos vetores e .

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