Determine a dimensão, o núcleo e a imagem das seguintes transformações. ;
Passo 1
Beleza, você quer saber qual é a dimensão, o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, núcleo (kernel) e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, precisamos resolver:
Passo 3
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo esse sistema, temos que:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Portanto, o único vetor que satisfaz todas as equações é .
Passo 5
Então, o núcleo de Núc<=o(T) = (0, 0) é:
ú
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de T(x, y) = x(2, 4, 0) + y(0, 0, -4) . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando em algum vetor de . Ou seja, queremos descrever todos os vetores .
Podemos reescrever isso como uma combinação linear:
Passo 7
Isso mostra que a imagem de é gerada pelos vetores e . Como esses vetores são linearmente independentes, a imagem é um subespaço de de dimensão 2.
Passo 8
Finalmente, a dimensão da transformação é igual à dimensão da sua imagem. Como a imagem tem dimensão 2, a dimensão de também é 2.
Resposta
A dimensão da transformação é 2, o núcleo é apenas o vetor zero e a imagem é o subespaço de gerado pelos vetores e .