Determine a dimensão, o núcleo e a imagem das seguintes transformações.
T: Re^2 Re^3, T(x, y)=(2 x, 4 x,-4 y);

Passo 1

Beleza, você quer saber qual é a dimensão, o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, núcleo (kernel) e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T(x, y) = (2x, 4x, -4y) = (0, 0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, precisamos resolver:

Passo 3

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
2x = 0 4x = 0 -4y = 0

Passo 4

Resolvendo esse sistema, temos que:
  • Da primeira equação:
  • Da terceira equação:
Portanto, o único vetor que satisfaz todas as equações é .

Passo 5

Então, o núcleo de Núc<=o(T) = (0, 0) é:
ú

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de T(x, y) = x(2, 4, 0) + y(0, 0, -4) . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando em algum vetor de . Ou seja, queremos descrever todos os vetores .
Podemos reescrever isso como uma combinação linear:

Passo 7

Isso mostra que a imagem de é gerada pelos vetores e . Como esses vetores são linearmente independentes, a imagem é um subespaço de de dimensão 2.

Passo 8

Finalmente, a dimensão da transformação é igual à dimensão da sua imagem. Como a imagem tem dimensão 2, a dimensão de também é 2.

Resposta

A dimensão da transformação é 2, o núcleo é apenas o vetor zero e a imagem é o subespaço de gerado pelos vetores e .

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