Descreva os conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as desigualdade ou as combinações de equações e desigualdades dadas
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos olhar o primeiro item:
. A gente está lidando com geometria no espaço tridimensional e essa equação lembra bastante a equação de uma esfera. Vamos precisar entender o que essa desigualdade representa no espaço.
Passo 2
A equação
define uma esfera de raio 1 centrada na origem (0,0,0). Quando a gente tem
, significa que estamos incluindo todos os pontos dentro dessa esfera, incluindo a própria superfície. Então, o conjunto de pontos que satisfazem
é uma esfera sólida.
Passo 3
Agora, vamos para o segundo item:
. É similar ao primeiro, mas o sinal mudou. Aqui, a desigualdade é maior ou igual a 1. Isso significa que estamos pegando todos os pontos que estão na superfície da esfera ou fora dela.
Passo 4
Então,
representa o espaço tridimensional que está fora da esfera de raio 1 centrada na origem, incluindo a própria esfera.
Passo 5
Vamos para o terceiro item:
e
. Já sabemos que
é uma esfera. Agora, a condição
limita isso para apenas a parte da esfera onde a coordenada z é positiva ou zero.
Passo 6
Isso significa que estamos falando de um hemisfério superior. Ou seja, todos os pontos que estão na superfície da esfera com
maior ou igual a zero.
Passo 7
Por fim, o quarto item:
e
. Aqui combinamos a esfera sólida com a condição de
ser não negativa.
Passo 8
Portanto,
define uma esfera sólida e
limita isso para a metade superior dessa esfera. Assim, o conjunto de pontos é um hemisfério sólido superior.
Resposta
(a) O conjunto é a esfera sólida de raio 1 centrada na origem.
(b) O conjunto inclui todos os pontos fora da esfera de raio 1 centrada na origem, incluindo a superfície.
© O conjunto é o hemisfério superior (onde
) da esfera de raio 1.
(d) O conjunto é o hemisfério sólido superior da esfera de raio 1, onde
.
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