Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada, usando a condição inicial . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente as equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata ou se podemos torná-la exata, e então integrar para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem na forma:
Onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculando :
Observamos que:
Então, a equação não é exata. Mas calma, vamos tentar encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de . Multiplicando a equação original por , queremos que:
Se a equação for exata, então:
Como depende só de :
Substituindo os valores que já calculamos:
Dividindo ambos os lados por :
Rearranjando:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, integramos ambos os lados:
Podemos escolher para simplificar, então .

Passo 5

Agora, multiplicamos a equação original por :
Com isso, a equação é exata. Agora, vamos encontrar uma função tal que:
Integramos em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando:
Resolvendo para :
Aqui, percebemos que algo não está certo, pois deveria depender apenas de . Pode ter ocorrido um erro nos cálculos. Vamos tentar outro caminho.
Observando a equação exata multiplicada pelo fator integrante:
Integramos em relação a :
Derivando em relação a :
Igualando a :
Rearranjando:
Agora, integramos :
Portanto, a função é:
A solução geral é , então:
Agora, aplicamos a condição inicial :
Substituindo de volta na equação:
Isso nos leva à solução particular da equação diferencial.

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial , é:
Ou, de forma equivalente:

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Descreva os conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as desigualdade ou as combinações de equações e desigualdades dadas
(a)
(b)
©
(d)
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Defina os seguintes conceitos:
  1. Defina funções de Várias Variáveis:
Defina os seguintes conceitos:
4. Defina gráfico de funções de várias variáveis.