Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada, usando a condição inicial
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente as equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata ou se podemos torná-la exata, e então integrar para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem na forma:
Onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Observamos que:
Então, a equação não é exata. Mas calma, vamos tentar encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos procurar um fator integrante
que depende apenas de
. Multiplicando a equação original por
, queremos que:
Se a equação for exata, então:
Como
depende só de
:
Substituindo os valores que já calculamos:
Dividindo ambos os lados por
:
Rearranjando:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, integramos ambos os lados:
Podemos escolher
para simplificar, então
.
Passo 5
Agora, multiplicamos a equação original por
:
Com isso, a equação é exata. Agora, vamos encontrar uma função
tal que:
Integramos em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando:
Resolvendo para
:
Aqui, percebemos que algo não está certo, pois
deveria depender apenas de
. Pode ter ocorrido um erro nos cálculos. Vamos tentar outro caminho.
Observando a equação exata multiplicada pelo fator integrante:
Integramos
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Igualando a
:
Rearranjando:
Agora, integramos
:
Portanto, a função
é:
A solução geral é
, então:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Substituindo de volta na equação:
Isso nos leva à solução particular da equação diferencial.
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial
, é:
Ou, de forma equivalente:
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Descreva os conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as desigualdade ou as combinações de equações e desigualdades dadas
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Defina os seguintes conceitos:
- Defina funções de Várias Variáveis:
Defina os seguintes conceitos:
4. Defina gráfico de funções de várias variáveis.
4. Defina gráfico de funções de várias variáveis.