Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada. y' + y = 0, y(1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo e uma condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente usando o método do fator integrante para encontrar a solução. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. Nossa equação é , que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Essas equações têm a forma geral . No nosso caso, e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo na solução geral:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial é:

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