Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
e uma condição inicial
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente usando o método do fator integrante para encontrar a solução. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. Nossa equação é
, que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Essas equações têm a forma geral
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo na solução geral:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução particular que satisfaz a condição inicial é: