Descreva a curva de equação vetorial
onde
e
são constantes positivas, com
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação vetorial que define uma curva no espaço tridimensional. O conteúdo aqui envolve geometria analítica e equações vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar cada componente da equação vetorial e identificar que tipo de curva estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação vetorial dada:
Aqui,
representa a posição de um ponto na curva em função do parâmetro
. Os coeficientes
,
e
são constantes positivas, com
.
Passo 3
Vamos separar essa equação em suas componentes
,
e
:
Isso significa que, para cada valor de
, temos uma posição no espaço definida por essas três funções.
Passo 4
Agora, vamos tentar entender o que cada uma dessas funções está representando. As duas primeiras,
e
, parametricamente descrevem uma elipse no plano
, já que
e
são diferentes (ou seja, a elipse não é um círculo).
Passo 5
A terceira componente,
, adiciona um movimento ao longo do eixo
que é linear em relação a
. Isso significa que, à medida que
aumenta, o ponto se move continuamente para cima ou para baixo no eixo
.
Passo 6
Juntando tudo, a curva resultante é uma hélice elíptica. Isso porque, enquanto o ponto percorre uma elipse no plano
, ele também se move linearmente ao longo do eixo
, criando uma forma espiralada ao longo desse eixo.
Resposta
A curva dada pela equação vetorial
é uma hélice elíptica. Isso significa que ela combina um movimento elíptico no plano
com um movimento linear ao longo do eixo
, formando uma espiral que se desenvolve nesse espaço tridimensional.
Exercícios relacionados
Determine o comprimento das seguintes curvas:
Determine a equação vetorial
da reta tangente a curva no ponto especificado.
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é dado.
Determine o vetor tangente unitário