Descreva a curva de equação vetorial
onde e são constantes positivas, com .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação vetorial que define uma curva no espaço tridimensional. O conteúdo aqui envolve geometria analítica e equações vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar cada componente da equação vetorial e identificar que tipo de curva estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação vetorial dada:
Aqui, representa a posição de um ponto na curva em função do parâmetro . Os coeficientes , e são constantes positivas, com .

Passo 3

Vamos separar essa equação em suas componentes , e :
Isso significa que, para cada valor de , temos uma posição no espaço definida por essas três funções.

Passo 4

Agora, vamos tentar entender o que cada uma dessas funções está representando. As duas primeiras, e , parametricamente descrevem uma elipse no plano , já que e são diferentes (ou seja, a elipse não é um círculo).

Passo 5

A terceira componente, , adiciona um movimento ao longo do eixo que é linear em relação a . Isso significa que, à medida que aumenta, o ponto se move continuamente para cima ou para baixo no eixo .

Passo 6

Juntando tudo, a curva resultante é uma hélice elíptica. Isso porque, enquanto o ponto percorre uma elipse no plano , ele também se move linearmente ao longo do eixo , criando uma forma espiralada ao longo desse eixo.

Resposta

A curva dada pela equação vetorial
é uma hélice elíptica. Isso significa que ela combina um movimento elíptico no plano com um movimento linear ao longo do eixo , formando uma espiral que se desenvolve nesse espaço tridimensional.

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x=3 \cos t, y=4 t$ e a partir do ponto e você ande 5 unidades de comprimento na direção positiva. Em que ponto você se encontra agora?