x=3 \cos t, y=4 t$ e
a partir do ponto
e você ande 5 unidades de comprimento na direção positiva. Em que ponto você se encontra agora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente imaginar que você começa a caminhar sobre uma curva definida pelas equações paramétricas
,
e
, começando no ponto
. A ideia é descobrir em qual ponto você estará depois de andar 5 unidades de comprimento na direção positiva da curva. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma curva parametrizada e como calcular o comprimento de arco ao longo dessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva parametrizada. As equações
,
e
descrevem a posição de um ponto na curva para cada valor de
. O parâmetro
pode ser pensado como o tempo, ou simplesmente como uma variável que nos ajuda a percorrer a curva.
Para encontrar a posição após andar 5 unidades de comprimento na curva, precisamos calcular o comprimento de arco. O comprimento de arco
de uma curva parametrizada de
até
é dado pela integral:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções em relação a
:
Agora, substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Como
, temos:
Passo 4
Sabemos que o comprimento de arco
é 5 unidades, então:
Isso significa que, para andar 5 unidades de comprimento na curva, o parâmetro
deve aumentar de 0 para 1.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto correspondente a
:
Resposta
Após andar 5 unidades de comprimento na direção positiva da curva, você se encontra aproximadamente no ponto
.