Supomos que você inicie uma caminhada sobre a curva x=3 \cos t, y=4 t$ e e a partir do ponto a partir do ponto e você ande 5 unidades de comprimento na direção positiva. Em que ponto você se encontra agora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente imaginar que você começa a caminhar sobre uma curva definida pelas equações paramétricas , e , começando no ponto . A ideia é descobrir em qual ponto você estará depois de andar 5 unidades de comprimento na direção positiva da curva. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma curva parametrizada e como calcular o comprimento de arco ao longo dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva parametrizada. As equações , e descrevem a posição de um ponto na curva para cada valor de . O parâmetro pode ser pensado como o tempo, ou simplesmente como uma variável que nos ajuda a percorrer a curva.
Para encontrar a posição após andar 5 unidades de comprimento na curva, precisamos calcular o comprimento de arco. O comprimento de arco de uma curva parametrizada de até é dado pela integral:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções em relação a :
Agora, substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Como , temos:

Passo 4

Sabemos que o comprimento de arco é 5 unidades, então:
Isso significa que, para andar 5 unidades de comprimento na curva, o parâmetro deve aumentar de 0 para 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto correspondente a :

Resposta

Após andar 5 unidades de comprimento na direção positiva da curva, você se encontra aproximadamente no ponto .

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