Determine a derivada das seguintes funções vetoriais.
Determine o vetor tangente unitário no ponto em que o parâmetro é dado.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma função vetorial e precisamos determinar sua derivada. Além disso, devemos encontrar o vetor tangente unitário no ponto correspondente a um valor dado de .
Conteúdo da matéria: Cálculo Vetorial – Derivadas de funções vetoriais e vetores tangentes unitários.
O que vamos precisar para resolver:
  1. Conhecimento de derivadas de funções de uma variável.
  2. Capacidade de derivar cada componente da função vetorial.
  3. Cálculo da norma (magnitude) de um vetor.
  4. Normalização de vetores para encontrar o vetor unitário.

Passo 2

Derivada da função vetorial: Para encontrar a derivada de , vamos derivar cada uma de suas componentes em relação a .

Passo 3

Calculando a derivada de cada componente:
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:

Passo 4

Derivada completa da função vetorial:

Passo 5

Calculando o vetor tangente unitário : O vetor tangente unitário é obtido normalizando a derivada da função vetorial. Isso significa que:
onde é a norma de .

Passo 6

Calculando a norma de :
Simplificando:

Passo 7

Expressando o vetor tangente unitário :

Resposta

O vetor tangente unitário é dado por:

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