Determine a derivada das seguintes funções vetoriais.
Determine o vetor tangente unitário
no ponto em que o parâmetro
é dado.
Determine o vetor tangente unitário
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma função vetorial
e precisamos determinar sua derivada. Além disso, devemos encontrar o vetor tangente unitário
no ponto correspondente a um valor dado de
.
Conteúdo da matéria: Cálculo Vetorial – Derivadas de funções vetoriais e vetores tangentes unitários.
O que vamos precisar para resolver:
- Conhecimento de derivadas de funções de uma variável.
- Capacidade de derivar cada componente da função vetorial.
- Cálculo da norma (magnitude) de um vetor.
- Normalização de vetores para encontrar o vetor unitário.
Passo 2
Derivada da função vetorial: Para encontrar a derivada de
, vamos derivar cada uma de suas componentes em relação a
.
Passo 3
Calculando a derivada de cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 4
Derivada completa da função vetorial:
Passo 5
Calculando o vetor tangente unitário
: O vetor tangente unitário é obtido normalizando a derivada da função vetorial. Isso significa que:
onde
é a norma de
.
Passo 6
Calculando a norma de
:
Simplificando:
Passo 7
Expressando o vetor tangente unitário
:
Resposta
O vetor tangente unitário
é dado por:
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Descreva a curva de equação vetorial
onde
e
são constantes positivas, com
.
Determine o comprimento das seguintes curvas: