Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para descrever as curvas de nível da função
e, no caso de
, esboçar o gráfico dessa função. Aqui, vamos trabalhar com funções de duas variáveis e entender como as curvas de nível funcionam para visualizar essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Curvas de nível são os conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante. Ou seja, para uma constante
, a curva de nível é definida por:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, isolando
:
Passo 4
A equação
representa uma circunferência no plano
com raio
e centro na origem
. Isso significa que para cada valor positivo de
, temos uma circunferência diferente.
Passo 5
Como
é uma constante positiva, conforme
aumenta, o raio
diminui, já que
. Portanto, as curvas de nível são círculos concêntricos que se aproximam cada vez mais da origem quando
aumenta.
Resposta
As curvas de nível da função
são círculos centrados na origem com raio
para cada constante positiva
. No gráfico de
, isso resulta em círculos concêntricos que se fecham em torno da origem, ilustrando como a função cresce à medida que nos aproximamos do ponto
.
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