Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para descrever as curvas de nível da função e, no caso de , esboçar o gráfico dessa função. Aqui, vamos trabalhar com funções de duas variáveis e entender como as curvas de nível funcionam para visualizar essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Curvas de nível são os conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, para uma constante , a curva de nível é definida por:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre e . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, isolando :

Passo 4

A equação representa uma circunferência no plano com raio e centro na origem . Isso significa que para cada valor positivo de , temos uma circunferência diferente.

Passo 5

Como é uma constante positiva, conforme aumenta, o raio diminui, já que . Portanto, as curvas de nível são círculos concêntricos que se aproximam cada vez mais da origem quando aumenta.

Resposta

As curvas de nível da função são círculos centrados na origem com raio para cada constante positiva . No gráfico de , isso resulta em círculos concêntricos que se fecham em torno da origem, ilustrando como a função cresce à medida que nos aproximamos do ponto .

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