Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descrever as curvas de nível da função e, especificamente em , fazer um esboço do gráfico dessa função. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde estudamos como funções de duas ou mais variáveis se comportam. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas ajudam a visualizar a função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos no plano onde a função assume um valor constante . Matematicamente, isso é representado por:
Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes regiões do plano .

Passo 3

Vamos aplicar isso à função dada . Queremos encontrar as curvas de nível, ou seja, resolver:
Onde é uma constante. Para facilitar, vamos assumir que , já que um quadrado não pode ser negativo.

Passo 4

Resolvendo a equação , temos duas possibilidades:
Isso nos dá duas equações lineares:
Essas são linhas retas que são paralelas entre si e inclinam-se a 45 graus no plano. Conforme variamos , as linhas se afastam ou se aproximam da diagonal principal .

Passo 5

Para esboçar o gráfico de em , vamos imaginar as curvas de nível que acabamos de encontrar. Cada par de linhas representa uma “cinta” onde a função tem o mesmo valor. O gráfico geral será uma superfície parabólica que se alarga conforme nos afastamos da diagonal . No esboço, desenharemos várias dessas linhas paralelas para diferentes valores de , mostrando como a função cresce à medida que a distância em aumenta.

Resposta

As curvas de nível da função são duas linhas retas paralelas a , especificamente e para cada constante . O esboço do gráfico em forma uma superfície parabólica que se expande à medida que nos afastamos da linha diagonal .

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