Determine a imagem das função

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas formas, dependendo dos valores de e . Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem dessa função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir quando e variam. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções definidas por partes e análise de intervalos.

Passo 2

Vamos analisar a primeira parte da função: quando .
Aqui, representa um círculo de raio 2 centrado na origem. Dentro desse círculo, a função diminui conforme e aumentam, já que temos subtração de e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os valores máximos e mínimos que pode assumir nessa região.
  • Valor Máximo: Isso ocorre quando é mínimo. O menor valor possível de é 0 (quando e ). Então:
  • Valor Mínimo: O maior valor de nessa região é 4 (quando ):
Então, nessa parte da função, varia de 2 a 6.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a segunda parte da função: quando .
Essa condição representa o exterior do mesmo círculo de raio 2. Aqui, temos uma raiz quadrada com , o que indica que e estão relacionados de uma maneira específica.

Passo 5

Vamos encontrar os valores possíveis de nessa região:
  • A expressão requer que , ou seja, .
  • O menor valor de é 0, quando :
  • O valor de pode aumentar sem limite à medida que e se afastam, mas como estamos subtraindo esse valor de 4, pode se tornar negativo e vai diminuindo indefinidamente.
Então, nessa parte da função, pode ser qualquer valor menor ou igual a 4.

Resposta

A imagem da função é todos os números reais menores ou iguais a 6. Em notação matemática:

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