Determine a imagem das função
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de duas formas, dependendo dos valores de
e
. Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem dessa função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir quando
e
variam. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções definidas por partes e análise de intervalos.
Passo 2
Vamos analisar a primeira parte da função:
quando
.
Aqui,
representa um círculo de raio 2 centrado na origem. Dentro desse círculo, a função
diminui conforme
e
aumentam, já que temos subtração de
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os valores máximos e mínimos que
pode assumir nessa região.
-
Valor Máximo: Isso ocorre quando
é mínimo. O menor valor possível de é 0 (quando e ). Então: -
Valor Mínimo: O maior valor de
nessa região é 4 (quando ):
Então, nessa parte da função,
varia de 2 a 6.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a segunda parte da função:
quando
.
Essa condição representa o exterior do mesmo círculo de raio 2. Aqui, temos uma raiz quadrada com
, o que indica que
e
estão relacionados de uma maneira específica.
Passo 5
Vamos encontrar os valores possíveis de
nessa região:
-
A expressão
requer que , ou seja, . -
O menor valor de
é 0, quando : -
O valor de
pode aumentar sem limite à medida que e se afastam, mas como estamos subtraindo esse valor de 4, pode se tornar negativo e vai diminuindo indefinidamente.
Então, nessa parte da função,
pode ser qualquer valor menor ou igual a 4.
Resposta
A imagem da função
é todos os números reais menores ou iguais a 6. Em notação matemática:
Exercícios relacionados
Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)
Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe