Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que descrever as curvas de nível ou superfícies de nível da função
. Como estamos trabalhando em
, também precisamos esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como elas representam a função no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como
, é um conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante, ou seja,
, onde
é uma constante.
Passo 3
Então, para encontrar as curvas de nível da função
, vamos resolver a equação
. Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para facilitar a resolução:
Simplificando, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Essa última equação
representa uma circunferência com raio
centrada na origem. Isso significa que cada curva de nível é uma circunferência com raio determinado pelo valor de
. Note que
deve ser positivo, pois a função
sempre é positiva.
Passo 5
Agora, para esboçar o gráfico da função no
, podemos pensar em uma superfície tridimensional onde o eixo
representa os valores de
. Como as curvas de nível são circunferências com raios que aumentam à medida que
diminui, o gráfico da função será uma espécie de sino, com o ponto mais alto na origem e decaimento exponencial à medida que nos afastamos do centro.
Resposta
As curvas de nível da função
são circunferências centradas na origem com raio
. O gráfico da função em
é uma superfície em forma de sino, com o ponto máximo na origem e valores decrescentes à medida que nos afastamos do centro.
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