Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que descrever as curvas de nível ou superfícies de nível da função . Como estamos trabalhando em , também precisamos esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como elas representam a função no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como , é um conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, ou seja, , onde é uma constante.

Passo 3

Então, para encontrar as curvas de nível da função , vamos resolver a equação . Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para facilitar a resolução:
Simplificando, temos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Essa última equação representa uma circunferência com raio centrada na origem. Isso significa que cada curva de nível é uma circunferência com raio determinado pelo valor de . Note que deve ser positivo, pois a função sempre é positiva.

Passo 5

Agora, para esboçar o gráfico da função no , podemos pensar em uma superfície tridimensional onde o eixo representa os valores de . Como as curvas de nível são circunferências com raios que aumentam à medida que diminui, o gráfico da função será uma espécie de sino, com o ponto mais alto na origem e decaimento exponencial à medida que nos afastamos do centro.

Resposta

As curvas de nível da função são circunferências centradas na origem com raio . O gráfico da função em é uma superfície em forma de sino, com o ponto máximo na origem e valores decrescentes à medida que nos afastamos do centro.

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