Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer aqui é descrever as curvas de nível da função no plano , e também esboçar o gráfico dessa função. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente envolvendo funções de duas variáveis e suas curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar e interpretar essas curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função assume um determinado valor constante . Matematicamente, isso significa:
No nosso caso, a função é:
Então, vamos igualar a função a uma constante :

Passo 3

Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada. Para isso, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
O que nos dá:

Passo 4

Agora, vamos rearranjar essa equação para colocar em uma forma mais familiar. Vamos organizar os termos:
Percebemos que isso se parece com a equação de um círculo, mas falta completar o quadrado no termo de .

Passo 5

Vamos completar o quadrado para o termo de . Para completar o quadrado de , fazemos o seguinte:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, essa é a equação de um círculo com centro no ponto e raio . Ou seja, para cada valor de , temos uma curva de nível que é um círculo centrado em com raio dependente de .
Importante: Para que o raio seja um número real, o que está dentro da raiz quadrada deve ser não-negativo:
Como estamos trabalhando com a raiz quadrada na função original, deve ser não-negativo:

Passo 7

Então, resumindo:
  • Curvas de nível: São círculos centrados em com raio .
  • Valores de : Variam de 0 a 1.
Quando :
Então, temos o círculo:
Esse é o maior círculo na família de curvas de nível.
Quando :
A curva de nível é apenas o ponto , pois o raio é zero.

Passo 8

Agora, vamos esboçar o gráfico de . Como é a raiz quadrada, o gráfico será uma superfície em três dimensões.
Para cada curva de nível , temos um círculo no plano e a altura . Isso significa que a superfície será uma espécie de “cúpula” acima do ponto , atingindo a altura máxima de quando e .

Resposta

As curvas de nível da função são círculos centrados no ponto com raio para cada constante no intervalo . O gráfico da função forma uma cúpula acima do ponto com altura máxima de .

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