Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer aqui é descrever as curvas de nível da função
no plano
, e também esboçar o gráfico dessa função. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente envolvendo funções de duas variáveis e suas curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar e interpretar essas curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos
onde a função assume um determinado valor constante
. Matematicamente, isso significa:
No nosso caso, a função é:
Então, vamos igualar a função a uma constante
:
Passo 3
Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada. Para isso, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
O que nos dá:
Passo 4
Agora, vamos rearranjar essa equação para colocar em uma forma mais familiar. Vamos organizar os termos:
Percebemos que isso se parece com a equação de um círculo, mas falta completar o quadrado no termo de
.
Passo 5
Vamos completar o quadrado para o termo de
. Para completar o quadrado de
, fazemos o seguinte:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, essa é a equação de um círculo com centro no ponto
e raio
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma curva de nível que é um círculo centrado em
com raio dependente de
.
Importante: Para que o raio seja um número real, o que está dentro da raiz quadrada deve ser não-negativo:
Como estamos trabalhando com a raiz quadrada na função original,
deve ser não-negativo:
Passo 7
Então, resumindo:
- Curvas de nível: São círculos centrados em
com raio . - Valores de
: Variam de 0 a 1.
Quando
:
Então, temos o círculo:
Esse é o maior círculo na família de curvas de nível.
Quando
:
A curva de nível é apenas o ponto
, pois o raio é zero.
Passo 8
Agora, vamos esboçar o gráfico de
. Como
é a raiz quadrada, o gráfico será uma superfície em três dimensões.
Para cada curva de nível
, temos um círculo no plano
e a altura
. Isso significa que a superfície será uma espécie de “cúpula” acima do ponto
, atingindo a altura máxima de
quando
e
.
Resposta
As curvas de nível da função
são círculos centrados no ponto
com raio
para cada constante
no intervalo
. O gráfico da função forma uma cúpula acima do ponto
com altura máxima de
.
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