Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de quando se aproxima de . Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente o desenvolvimento em série de Taylor para a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador. Sabemos que a função exponencial pode ser expandida em uma série de Taylor:
onde .

Passo 3

Substituindo na série, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Dividindo tudo por , temos:

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando se aproxima de . Conforme tende a zero, os termos de ordem superior ( , , etc.) também tendem a zero.

Passo 7

Portanto, o limite da expressão é:

Resposta

O limite é igual a 1.

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