Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de
quando
se aproxima de
. Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente o desenvolvimento em série de Taylor para a função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador. Sabemos que a função exponencial pode ser expandida em uma série de Taylor:
onde
.
Passo 3
Substituindo
na série, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Dividindo tudo por
, temos:
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de
. Conforme
tende a zero, os termos de ordem superior (
,
, etc.) também tendem a zero.
Passo 7
Portanto, o limite da expressão é:
Resposta
O limite é igual a 1.
Exercícios relacionados
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)