Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) 1-e^-(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de quando se aproxima de . Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente o desenvolvimento em série de Taylor para a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador. Sabemos que a função exponencial pode ser expandida em uma série de Taylor:
e^-t = 1 - t + t^22! - t^33! + cdots
onde .

Passo 3

Substituindo e^-(x^2+y^2) = 1 - (x^2+y^2) + (x^2+y^2)^22! - (x^2+y^2)^33! + cdots na série, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular 1 - e^-(x^2+y^2) = 1 - (1 - (x^2+y^2) + (x^2+y^2)^22! - cdots ) :
= (x^2+y^2) - (x^2+y^2)^22! + cdots

Passo 5

Dividindo tudo por 1 - e^-(x^2+y^2)x^2+y^2 = 1 - (x^2+y^2)2! + cdots , temos:

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando se aproxima de . Conforme tende a zero, os termos de ordem superior ( , , etc.) também tendem a zero.

Passo 7

Portanto, o limite da expressão é:
lim(x, y) to (0,0) 1 - e^-(x^2+y^2)x^2+y^2 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados