Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descrever as curvas ou superfícies de nível da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis, onde a gente analisa como a função se comporta em diferentes “alturas” ou níveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Para uma função de três variáveis como
, uma superfície de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Basicamente, é onde a função atinge o valor
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função:
Essa é a equação geral das superfícies de nível. Dependendo do valor de
, a equação representa diferentes tipos de superfícies geométricas.
Passo 4
Vamos analisar alguns casos específicos:
-
Quando
: Isso descreve um cone com vértice no ponto. -
Quando
: Isso representa um hiperboloide de uma folha, que é uma superfície conectada. -
Quando
: Aqui, a equação não tem solução real se, pois o lado esquerdo é sempre não negativo e o lado direito seria menor que .
Passo 5
Agora, para esboçar o gráfico em
, geralmente ficamos com duas variáveis. Supondo que fixemos uma das variáveis, por exemplo,
, podemos visualizar cortes da superfície. Por exemplo, para
, a equação se torna:
Que é apenas o ponto
. Para outros valores de
, teríamos círculos de diferentes raios, indicando a forma circular das seções horizontais do hiperboloide.
Resposta
As superfícies de nível da função
são cones quando
e hiperboloides de uma folha para
. Não existem superfícies reais para
. O gráfico em
consiste em círculos centrados na origem, cujos raios variam conforme o valor fixado de
.
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Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)
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