Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descrever as curvas ou superfícies de nível da função . Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis, onde a gente analisa como a função se comporta em diferentes “alturas” ou níveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Para uma função de três variáveis como , uma superfície de nível é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Basicamente, é onde a função atinge o valor .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função:
Essa é a equação geral das superfícies de nível. Dependendo do valor de , a equação representa diferentes tipos de superfícies geométricas.

Passo 4

Vamos analisar alguns casos específicos:
  1. Quando :
    Isso descreve um cone com vértice no ponto .
  2. Quando :
    Isso representa um hiperboloide de uma folha, que é uma superfície conectada.
  3. Quando :
    Aqui, a equação não tem solução real se , pois o lado esquerdo é sempre não negativo e o lado direito seria menor que .

Passo 5

Agora, para esboçar o gráfico em , geralmente ficamos com duas variáveis. Supondo que fixemos uma das variáveis, por exemplo, , podemos visualizar cortes da superfície. Por exemplo, para , a equação se torna:
Que é apenas o ponto . Para outros valores de , teríamos círculos de diferentes raios, indicando a forma circular das seções horizontais do hiperboloide.

Resposta

As superfícies de nível da função são cones quando e hiperboloides de uma folha para . Não existem superfícies reais para . O gráfico em consiste em círculos centrados na origem, cujos raios variam conforme o valor fixado de .

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