Determine a imagem das função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a imagem da função
. Isso faz parte do conteúdo de Análise Matemática, mais especificamente sobre funções de várias variáveis e seus domínios e imagens. Para resolver isso, vamos precisar analisar as condições em que a função está bem definida e descobrir quais valores ela pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quando a função
está bem definida. Temos uma fração e uma raiz quadrada, então precisamos atender a algumas condições:
- Denominador não nulo:
. Isso significa que e . - Dentro da raiz não negativa:
. Ou seja, .
Essas são as condições para que a função exista para certos valores de
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão da função:
Queremos descobrir quais valores essa função pode assumir, ou seja, sua imagem. Vamos considerar as possibilidades para o numerador e o denominador:
- Numerador:
é sempre não negativo, já que é uma raiz quadrada. - Denominador:
pode ser positivo ou negativo, dependendo do valor de .
Vamos analisar os casos:
- Caso 1:
⇨ . Aqui, o denominador é positivo. - Caso 2:
⇨ . Aqui, o denominador é negativo.
Passo 4
Para cada caso, vamos determinar os possíveis valores de
:
Caso 1:
- O denominador é positivo.
- O numerador pode variar de 0 a
, mas como , temos que pode ser qualquer número real não negativo. - Portanto,
pode assumir valores de 0 a infinito.
Caso 2:
- O denominador é negativo.
- O numerador, novamente, é não negativo.
- Neste caso,
será não positivo, variando de 0 a menos infinito.
Passo 5
Combinando os dois casos, vemos que a função
pode assumir todos os valores reais, exceto possivelmente em pontos específicos onde a função não está definida (como
e
). Portanto, a imagem da função é o conjunto de todos os números reais.
Resposta
A imagem da função
é
(todos os números reais).
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