Determine a imagem das função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a imagem da função . Isso faz parte do conteúdo de Análise Matemática, mais especificamente sobre funções de várias variáveis e seus domínios e imagens. Para resolver isso, vamos precisar analisar as condições em que a função está bem definida e descobrir quais valores ela pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando a função está bem definida. Temos uma fração e uma raiz quadrada, então precisamos atender a algumas condições:
  1. Denominador não nulo: . Isso significa que e .
  2. Dentro da raiz não negativa: . Ou seja, .
Essas são as condições para que a função exista para certos valores de e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão da função:
Queremos descobrir quais valores essa função pode assumir, ou seja, sua imagem. Vamos considerar as possibilidades para o numerador e o denominador:
  • Numerador: é sempre não negativo, já que é uma raiz quadrada.
  • Denominador: pode ser positivo ou negativo, dependendo do valor de .
Vamos analisar os casos:
  1. Caso 1: . Aqui, o denominador é positivo.
  2. Caso 2: . Aqui, o denominador é negativo.

Passo 4

Para cada caso, vamos determinar os possíveis valores de :
Caso 1:
  • O denominador é positivo.
  • O numerador pode variar de 0 a , mas como , temos que pode ser qualquer número real não negativo.
  • Portanto, pode assumir valores de 0 a infinito.
Caso 2:
  • O denominador é negativo.
  • O numerador, novamente, é não negativo.
  • Neste caso, será não positivo, variando de 0 a menos infinito.

Passo 5

Combinando os dois casos, vemos que a função pode assumir todos os valores reais, exceto possivelmente em pontos específicos onde a função não está definida (como e ). Portanto, a imagem da função é o conjunto de todos os números reais.

Resposta

A imagem da função é (todos os números reais).

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