Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descrever as curvas de nível da função
definida por partes e, no caso de
, fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível, trabalhar com funções definidas por partes e usar um pouco de geometria para esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função
é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante, ou seja,
, onde
é uma constante.
Nossa função
é definida por duas partes:
Vamos analisar cada parte separadamente para encontrar as curvas de nível.
Parte 1:
Aqui, a função é
.
Para encontrar a curva de nível
:
Essa é a equação de um círculo com raio
, desde que
, ou seja,
. Além disso, como estamos considerando
, os círculos só existem dentro desse domínio.
Parte 2:
Aqui, a função é
.
Para a curva de nível
:
Essa é a equação de uma hipérbole, já que temos
. Isso ocorre para
, pois o lado direito precisa ser não negativo para a raiz existir.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como esboçar o gráfico em
.
-
Dentro do círculo
: As curvas de nível são círculos concêntricos com o centro na origem e raio variando conforme . Quanto maior o valor de (até 6), menor o raio, já que diminui. -
Fora do círculo
: As curvas de nível são hipérboles. Conforme diminui de 4 para valores menores, a constante aumenta, fazendo com que as hipérboles se abram mais.
No esboço, você verá um círculo central para
diminuindo até
, e fora dele, hipérboles que se abrem à medida que
diminui.
Resposta
As curvas de nível da função
são círculos concêntricos com equação
para
dentro do domínio
e hipérboles com equação
para
fora desse domínio. O esboço do gráfico em
mostra esses círculos no interior do círculo de raio 2 e hipérboles se abrindo para fora conforme
diminui.
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