Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descrever as curvas de nível da função definida por partes e, no caso de , fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível, trabalhar com funções definidas por partes e usar um pouco de geometria para esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, ou seja, , onde é uma constante.
Nossa função é definida por duas partes:
Vamos analisar cada parte separadamente para encontrar as curvas de nível.

Parte 1:

Aqui, a função é .
Para encontrar a curva de nível :
Essa é a equação de um círculo com raio , desde que , ou seja, . Além disso, como estamos considerando , os círculos só existem dentro desse domínio.

Parte 2:

Aqui, a função é .
Para a curva de nível :
Essa é a equação de uma hipérbole, já que temos . Isso ocorre para , pois o lado direito precisa ser não negativo para a raiz existir.

Passo 3

Agora, vamos pensar em como esboçar o gráfico em .
  • Dentro do círculo : As curvas de nível são círculos concêntricos com o centro na origem e raio variando conforme . Quanto maior o valor de (até 6), menor o raio, já que diminui.
  • Fora do círculo : As curvas de nível são hipérboles. Conforme diminui de 4 para valores menores, a constante aumenta, fazendo com que as hipérboles se abram mais.
No esboço, você verá um círculo central para diminuindo até , e fora dele, hipérboles que se abrem à medida que diminui.

Resposta

As curvas de nível da função são círculos concêntricos com equação para dentro do domínio e hipérboles com equação para fora desse domínio. O esboço do gráfico em mostra esses círculos no interior do círculo de raio 2 e hipérboles se abrindo para fora conforme diminui.

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