Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. A função que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e algumas propriedades das funções trigonométricas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma função que está sempre entre -1 e 1, ou seja,
. Quando elevamos ao quadrado, fica:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos dividir toda a desigualdade pelo denominador
, que é sempre positivo exceto no ponto
:
Passo 4
O próximo passo é analisar o limite da expressão da direita quando
se aproxima de
. Vamos ver o que acontece com:
Se tanto
quanto
vão para zero, o numerador e o denominador também vão para zero. Para simplificar, podemos dividir numerador e denominador por
:
Passo 5
Agora, se
se aproxima de zero mais rapidamente que
, ou seja,
também se aproxima de zero, então:
Mas como estamos considerando o limite quando ambos
e
vão para zero, a fração
pode assumir diversos valores dependendo do caminho que
toma para chegar em
. Contudo, independentemente do valor de
, o denominador
sempre será maior ou igual a 1, o que faz com que toda a fração seja menor ou igual a 1.
Passo 6
Voltando à nossa desigualdade inicial:
Como o limite da expressão da direita é 0 (já que
vai para 0 mais rápido que o denominador), pelo Teorema do Sanduíche, sabemos que:
Resposta
O limite é igual a 0.