Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) x^2 sin ^2 yx^2+2 y^2

Passo 1

Vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o limite de uma função de duas variáveis quando lim (x, y) (0,0) x^2 sin^2 yx^2 + 2 y^2 se aproxima de . A função que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e algumas propriedades das funções trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 0 <= sin^2 y <= 1 é uma função que está sempre entre -1 e 1, ou seja, 0 <= x^2 sin^2 y <= x^2 . Quando elevamos ao quadrado, fica:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos dividir toda a desigualdade pelo denominador 0 <= x^2 sin^2 yx^2 + 2 y^2 <= x^2x^2 + 2 y^2 , que é sempre positivo exceto no ponto :

Passo 4

O próximo passo é analisar o limite da expressão da direita quando x^2x^2 + 2 y^2 se aproxima de 11 + 2 ( yx )^2 . Vamos ver o que acontece com:
Se tanto quanto vão para zero, o numerador e o denominador também vão para zero. Para simplificar, podemos dividir numerador e denominador por :

Passo 5

Agora, se 11 + 0 = 1 se aproxima de zero mais rapidamente que , ou seja, também se aproxima de zero, então:
Mas como estamos considerando o limite quando ambos e vão para zero, a fração pode assumir diversos valores dependendo do caminho que toma para chegar em . Contudo, independentemente do valor de , o denominador sempre será maior ou igual a 1, o que faz com que toda a fração seja menor ou igual a 1.

Passo 6

Voltando à nossa desigualdade inicial:
0 <= x^2 sin^2 yx^2 + 2 y^2 <= x^2x^2 + 2 y^2 <= 1
Como o limite da expressão da direita é 0 (já que lim (x, y) (0,0) x^2 sin^2 yx^2 + 2 y^2 = 0 vai para 0 mais rápido que o denominador), pelo Teorema do Sanduíche, sabemos que:

Resposta

O limite é igual a 0.

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