Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Então, a gente tem que achar o limite de quando se aproxima de . Isso tá na matéria de limites para funções de duas variáveis. Vamos precisar ver como a função se comporta chegando no ponto por diferentes jeitos.

Passo 2

Para saber se o limite existe, a gente vai ver o que acontece com a função quando nos aproximamos de por diferentes caminhos. Se a gente encontrar resultados diferentes, então o limite não existe.

Passo 3

Primeiro, vamos olhar o caminho onde . Substituindo por 0 na função:
Agora, se se aproxima de 0, o cresce sem limite, ou seja, vai para mais infinito ou menos infinito dependendo de . Então, nesse caminho, o limite não dá um valor definido.

Passo 4

Vamos testar outro caminho, onde . Substituindo por 0 na função:
Aqui, se se aproxima de 0, o resultado é sempre . Então, nesse caminho, o limite é .

Resposta

Como conseguimos resultados diferentes ( e ) ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes, o limite não existe.

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