Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproximam de
. A função dada é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e ver se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender o que acontece com a função quando
se aproxima de
por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então ele existe. Se mudar dependendo do caminho, então o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar analisando o limite ao longo do caminho onde
. Substituindo
na função, temos:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Portanto, o limite ao longo desse caminho é 0.
Passo 4
Agora, vamos analisar o caminho onde
. Substituindo
na função, temos:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então, o limite por esse caminho também é 0.
Passo 5
Vamos verificar outro caminho:
. Substituindo
na função, temos:
Aqui, o limite é claramente 0 novamente.
Passo 6
Para ter certeza de que o limite existe, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Substituindo na função:
Sabemos que
. Agora, observe que conforme
se aproxima de 0, todo o termo
também se aproxima de 0, independente do valor de
.
Passo 7
Como vimos, independentemente do caminho que escolhemos para
se aproximar de
, o limite da função sempre tende a 0. Portanto, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.