Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) x^3-y^3x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o limite de uma função de duas variáveis quando se aproximam de . A função dada é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e ver se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender o que acontece com a função quando se aproxima de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então ele existe. Se mudar dependendo do caminho, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar analisando o limite ao longo do caminho onde x^3-0^3x^2+0^2 = x^3x^2 = x . Substituindo na função, temos:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 4

Agora, vamos analisar o caminho onde 0^3-y^30^2+y^2 = -y^3y^2 = -y . Substituindo na função, temos:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então, o limite por esse caminho também é 0.

Passo 5

Vamos verificar outro caminho: x^3-x^3x^2+x^2 = 02x^2 = 0 . Substituindo na função, temos:
Aqui, o limite é claramente 0 novamente.

Passo 6

Para ter certeza de que o limite existe, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, (rcostheta)^3 - (rsintheta)^3(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = r^3(cos^3theta - sin^3theta)r^2(cos^2theta + sin^2theta) = r (cos^3theta - sin^3theta) e , onde é a distância até a origem e é o ângulo. Substituindo na função:
Sabemos que . Agora, observe que conforme se aproxima de 0, todo o termo também se aproxima de 0, independente do valor de .

Passo 7

Como vimos, independentemente do caminho que escolhemos para se aproximar de , o limite da função sempre tende a 0. Portanto, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

lim (x, y) (0,0) x^3-y^3x^2+y^2 = 0

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