Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever as curvas de nível (ou superfícies de nível) da função
definida em duas partes, e também esboçar o gráfico dela no plano
. Isso envolve entender como a função se comporta em diferentes regiões do plano e como as curvas onde a função mantém um valor constante se parecem.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na definição da função:
Temos duas partes aqui, cada uma definida em uma região diferente do plano:
- Primeira Parte: Quando
está entre 0 e 16. - Segunda Parte: Quando
está entre 16 e 25.
Vamos analisar cada uma separadamente.
Passo 3
Primeira Parte:
Aqui,
representa a equação de um círculo com raio
. Então, estamos olhando para dentro de um círculo de raio 4.
A função nessa região é:
Isso significa que o valor de
diminui à medida que nos afastamos do centro (0,0). As curvas de nível serão valores constantes de
, digamos
, então:
Isso nos mostra que as curvas de nível nessa região são círculos concêntricos com centro na origem e raio
, desde que
.
Passo 4
Segunda Parte:
Aqui,
está entre 16 e 25, representando uma faixa entre círculos de raio 4 e 5.
A função nessa região é:
As curvas de nível agora são definidas por um valor constante
:
Assim, as curvas de nível nessa região também são círculos concêntricos com centro na origem, mas com raio
, para
.
Passo 5
Esboçando o Gráfico
Para esboçar o gráfico de
:
-
Dentro do Círculo de Raio 4:
- As alturas (valores de
) começam em 7 no centro e diminuem até 3 na borda (quando , ).
- As alturas (valores de
-
Na Faixa entre Raio 4 e 5:
- As alturas começam em 0 na borda interna (quando
, ) e diminuem até 0 no círculo de raio 5.
- As alturas começam em 0 na borda interna (quando
O gráfico resultante é uma espécie de “cúpula” que desce até o raio 4 e depois forma uma camada adicional até o raio 5.
Resposta
As curvas de nível da função
são círculos concêntricos centrados na origem com diferentes raios nas duas regiões definidas. No plano
, o gráfico de
é uma superfície que forma uma cúpula centralizada na origem, descendo até um raio de 4 e depois se estendendo até um raio de 5 com alturas decrescentes.
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