Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever as curvas de nível (ou superfícies de nível) da função definida em duas partes, e também esboçar o gráfico dela no plano . Isso envolve entender como a função se comporta em diferentes regiões do plano e como as curvas onde a função mantém um valor constante se parecem.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na definição da função:
Temos duas partes aqui, cada uma definida em uma região diferente do plano:
  1. Primeira Parte: Quando está entre 0 e 16.
  2. Segunda Parte: Quando está entre 16 e 25.
Vamos analisar cada uma separadamente.

Passo 3

Primeira Parte:
Aqui, representa a equação de um círculo com raio . Então, estamos olhando para dentro de um círculo de raio 4.
A função nessa região é:
Isso significa que o valor de diminui à medida que nos afastamos do centro (0,0). As curvas de nível serão valores constantes de , digamos , então:
Isso nos mostra que as curvas de nível nessa região são círculos concêntricos com centro na origem e raio , desde que .

Passo 4

Segunda Parte:
Aqui, está entre 16 e 25, representando uma faixa entre círculos de raio 4 e 5.
A função nessa região é:
As curvas de nível agora são definidas por um valor constante :
Assim, as curvas de nível nessa região também são círculos concêntricos com centro na origem, mas com raio , para .

Passo 5

Esboçando o Gráfico
Para esboçar o gráfico de :
  1. Dentro do Círculo de Raio 4:
    • As alturas (valores de ) começam em 7 no centro e diminuem até 3 na borda (quando , ).
  2. Na Faixa entre Raio 4 e 5:
    • As alturas começam em 0 na borda interna (quando , ) e diminuem até 0 no círculo de raio 5.
O gráfico resultante é uma espécie de “cúpula” que desce até o raio 4 e depois forma uma camada adicional até o raio 5.

Resposta

As curvas de nível da função são círculos concêntricos centrados na origem com diferentes raios nas duas regiões definidas. No plano , o gráfico de é uma superfície que forma uma cúpula centralizada na origem, descendo até um raio de 4 e depois se estendendo até um raio de 5 com alturas decrescentes.

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