Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão nos pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções de duas variáveis e como simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos simplificar a expressão. Olhando para o numerador , percebemos que dá para fatorar. Vamos tentar agrupar os termos:
Então, o numerador simplifica para .

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador . Tentaremos completar os quadrados para e :
Para :
Para :
Substituindo de volta no denominador:
Então, o denominador simplifica para .

Passo 4

Agora, nossa função simplificada fica:
Vamos analisar o comportamento dessa função quando se aproxima de . Vamos tentar substituir diretamente:
Substituindo e :

Resposta

O limite existe e é igual a .

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