Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão nos pede para encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções de duas variáveis e como simplificar expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos simplificar a expressão. Olhando para o numerador
, percebemos que dá para fatorar. Vamos tentar agrupar os termos:
Então, o numerador simplifica para
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador
. Tentaremos completar os quadrados para
e
:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta no denominador:
Então, o denominador simplifica para
.
Passo 4
Agora, nossa função simplificada fica:
Vamos analisar o comportamento dessa função quando
se aproxima de
. Vamos tentar substituir diretamente:
Substituindo
e
:
Resposta
O limite existe e é igual a
.
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esboce o gráfico
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