Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (1,2) x y-2 x-y+2x^2+y^2-2 x+4 y+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão nos pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções de duas variáveis e como simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos simplificar a expressão. Olhando para o numerador xy - 2x - y + 2 = x(y - 2) -1(y - 2) = (x - 1)(y - 2) , percebemos que dá para fatorar. Vamos tentar agrupar os termos:
Então, o numerador simplifica para .

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 . Tentaremos completar os quadrados para y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 e (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + 5 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 :
Para :
Para :
Substituindo de volta no denominador:
Então, o denominador simplifica para .

Passo 4

Agora, nossa função simplificada fica:
(x - 1)(y - 2)(x - 1)^2 + (y + 2)^2
Vamos analisar o comportamento dessa função quando (1 - 1)(2 - 2)(1 - 1)^2 + (2 + 2)^2 = 0 cdot 00 + 16 = 0 se aproxima de . Vamos tentar substituir diretamente:
Substituindo e :

Resposta

O limite existe e é igual a .

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