Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (1,1) x-1raiz(x-1)^2+(y-1)^2

Passo 1

Vamos analisar o limite da função lim (x, y) (1,1) x-1raiz(x-1)^2+(y-1)^2. Aqui, estamos trabalhando com limites em duas variáveis, ou seja, examinando como a função se comporta à medida que (x, y) se aproxima de (1,1). Para resolver isso, precisamos verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de diferentes caminhos em direção ao ponto (1,1).

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a aproximação ao longo do eixo x, ou seja, fixando y = 1 e deixando x se aproximar de 1. Substituindo y = 1 na função, temos:
x-1raiz(x-1)^2+(1-1)^2 = x-1raiz(x-1)^2 = x-1|x-1|
Para x próximo de 1, o valor x-1|x-1| será 1 se x > 1 e -1 se x < 1. Portanto, neste caminho, o limite tende a 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar outro caminho, por exemplo, quando y se aproxima de 1 de forma que y - 1 = k(x - 1), onde k é uma constante. Substituindo na função, temos:
x-1raiz(x-1)^2 + (k(x-1))^2 = x-1|x-1|raiz1 + k^2 = 1raiz1 + k^2
Aqui, o limite depende do valor de k. Isso significa que, dependendo da inclinação do caminho que escolhemos para nos aproximar de (1,1), o valor do limite muda.

Passo 4

Já que conseguimos obter diferentes valores para o limite dependendo do caminho escolhido para se aproximar de (1,1), concluímos que o limite não é único.

Resposta

O limite não existe porque seu valor depende do caminho pelas quais (x, y) se aproxima de (1,1).

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