Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Vamos analisar o limite da função
. Aqui, estamos trabalhando com limites em duas variáveis, ou seja, examinando como a função se comporta à medida que
se aproxima de
. Para resolver isso, precisamos verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de diferentes caminhos em direção ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a aproximação ao longo do eixo x, ou seja, fixando
e deixando
se aproximar de 1. Substituindo
na função, temos:
Para
próximo de 1, o valor
será
se
e
se
. Portanto, neste caminho, o limite tende a
.
Passo 3
Agora, vamos considerar outro caminho, por exemplo, quando
se aproxima de 1 de forma que
, onde
é uma constante. Substituindo na função, temos:
Aqui, o limite depende do valor de
. Isso significa que, dependendo da inclinação do caminho que escolhemos para nos aproximar de
, o valor do limite muda.
Passo 4
Já que conseguimos obter diferentes valores para o limite dependendo do caminho escolhido para se aproximar de
, concluímos que o limite não é único.
Resposta
O limite não existe porque seu valor depende do caminho pelas quais
se aproxima de
.
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Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico