Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Vamos analisar o limite da função . Aqui, estamos trabalhando com limites em duas variáveis, ou seja, examinando como a função se comporta à medida que se aproxima de . Para resolver isso, precisamos verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de diferentes caminhos em direção ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a aproximação ao longo do eixo x, ou seja, fixando e deixando se aproximar de 1. Substituindo na função, temos:
Para próximo de 1, o valor será se e se . Portanto, neste caminho, o limite tende a .

Passo 3

Agora, vamos considerar outro caminho, por exemplo, quando se aproxima de 1 de forma que , onde é uma constante. Substituindo na função, temos:
Aqui, o limite depende do valor de . Isso significa que, dependendo da inclinação do caminho que escolhemos para nos aproximar de , o valor do limite muda.

Passo 4

Já que conseguimos obter diferentes valores para o limite dependendo do caminho escolhido para se aproximar de , concluímos que o limite não é único.

Resposta

O limite não existe porque seu valor depende do caminho pelas quais se aproxima de .

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