Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descrever as curvas de nível (ou superfícies de nível) da função
e, especificamente no caso de
, esboçar o gráfico dessa função. Isso tudo está dentro do conteúdo de funções de várias variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível, como encontrá-las para essa função específica e, por fim, desenhar o gráfico no plano bidimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Imagine que você tem uma função que depende de duas variáveis, como
. As curvas de nível são como “fatias” da função onde o valor de
é constante. Ou seja, para cada valor fixo de
, a curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem
. Isso ajuda a visualizar como a função se comporta no espaço.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Para encontrar as curvas de nível, igualamos a função a uma constante
:
Resolvendo para
, temos:
Isso nos dá a equação das curvas de nível para cada valor de
. Dependendo de
, a forma da curva muda, o que nos permite visualizar diferentes “alturas” ou “valores” da função no plano.
Passo 4
Para esboçar o gráfico de
em
, vamos considerar valores de
e
que tornam a função real e definida. Observando a função:
É necessário que
para a raiz quadrada ser válida, ou seja,
. Além disso, o denominador
não pode ser zero, então
. Com essas restrições, podemos traçar o gráfico considerando essas condições e as curvas de nível que discutimos.
Resposta
As curvas de nível da função
são obtidas pela equação
para diferentes valores de
. No plano
, o gráfico da função é esboçado considerando
e
, resultando em uma superfície com essas condições refletidas nas curvas de nível.
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