Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descrever as curvas de nível (ou superfícies de nível) da função e, especificamente no caso de , esboçar o gráfico dessa função. Isso tudo está dentro do conteúdo de funções de várias variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível, como encontrá-las para essa função específica e, por fim, desenhar o gráfico no plano bidimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Imagine que você tem uma função que depende de duas variáveis, como . As curvas de nível são como “fatias” da função onde o valor de é constante. Ou seja, para cada valor fixo de , a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem . Isso ajuda a visualizar como a função se comporta no espaço.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Para encontrar as curvas de nível, igualamos a função a uma constante :
Resolvendo para , temos:
Isso nos dá a equação das curvas de nível para cada valor de . Dependendo de , a forma da curva muda, o que nos permite visualizar diferentes “alturas” ou “valores” da função no plano.

Passo 4

Para esboçar o gráfico de em , vamos considerar valores de e que tornam a função real e definida. Observando a função:
É necessário que para a raiz quadrada ser válida, ou seja, . Além disso, o denominador não pode ser zero, então . Com essas restrições, podemos traçar o gráfico considerando essas condições e as curvas de nível que discutimos.

Resposta

As curvas de nível da função são obtidas pela equação para diferentes valores de . No plano , o gráfico da função é esboçado considerando e , resultando em uma superfície com essas condições refletidas nas curvas de nível.

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