Determine a imagem das função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar a imagem da função
. Isso significa descobrir quais valores
pode assumir. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra e garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja válida (não pode ser negativa).
Passo 2
Primeiro, como temos uma raiz quadrada, a expressão dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais. Então, temos:
Passo 3
Vamos reorganizar essa desigualdade para facilitar:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para o termo em
:
Substituindo de volta na desigualdade:
Simplificando:
Passo 5
Reorganizando os termos:
Essa inequação representa um círculo com centro no ponto
e raio
. Ou seja, todos os pares
que satisfazem essa condição estão dentro ou na borda desse círculo.
Passo 6
Agora, lembrando que
, e vimos que
. Como
, temos:
Isso significa que
pode variar de 0 a 1.
Resposta
A imagem da função
é o intervalo
.
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esboce o gráfico