Determine a imagem das função h(x, y) = raiz(2y - x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar a imagem da função . Isso significa descobrir quais valores pode assumir. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra e garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja válida (não pode ser negativa).

Passo 2

Primeiro, como temos uma raiz quadrada, a expressão dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais. Então, temos:

Passo 3

Vamos reorganizar essa desigualdade para facilitar:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para o termo em :
Substituindo de volta na desigualdade:
Simplificando:

Passo 5

Reorganizando os termos:
Essa inequação representa um círculo com centro no ponto e raio . Ou seja, todos os pares que satisfazem essa condição estão dentro ou na borda desse círculo.

Passo 6

Agora, lembrando que , e vimos que . Como , temos:
Isso significa que pode variar de 0 a 1.

Resposta

A imagem da função é o intervalo .

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