Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a gente precisa fazer é entender o que o exercício está pedindo. A função dada é . A tarefa é descrever as curvas de nível dessa função no plano e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como elas se comportam para essa função específica.

Passo 2

Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor , a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem . Então, vamos começar encontrando essas curvas para nossa função.

Passo 3

Vamos igualar a função a uma constante :
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Essa equação representa uma hipérbole. Ou seja, as curvas de nível da função são hipérboles.

Passo 4

Vamos analisar quais valores de fazem sentido. Como estamos lidando com uma raiz quadrada, deve ser maior ou igual a zero:
Isso significa que as hipérboles só existem nas regiões onde é maior ou igual a .

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da função . Ela está definida apenas onde , então o gráfico será formado pelas hipérboles para diferentes valores de .

Resposta

As curvas de nível da função são hipérboles da forma onde é uma constante real. O gráfico de no plano consiste nessas hipérboles, válidas para . Assim, as curvas de nível são hipérboles que se abrem ao longo do eixo .

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