Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a gente precisa fazer é entender o que o exercício está pedindo. A função dada é
. A tarefa é descrever as curvas de nível dessa função no plano
e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como elas se comportam para essa função específica.
Passo 2
Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor
, a curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem
. Então, vamos começar encontrando essas curvas para nossa função.
Passo 3
Vamos igualar a função a uma constante
:
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Essa equação representa uma hipérbole. Ou seja, as curvas de nível da função
são hipérboles.
Passo 4
Vamos analisar quais valores de
fazem sentido. Como estamos lidando com uma raiz quadrada,
deve ser maior ou igual a zero:
Isso significa que as hipérboles só existem nas regiões onde
é maior ou igual a
.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
. Ela está definida apenas onde
, então o gráfico será formado pelas hipérboles
para diferentes valores de
.
Resposta
As curvas de nível da função
são hipérboles da forma
onde
é uma constante real. O gráfico de
no plano
consiste nessas hipérboles, válidas para
. Assim, as curvas de nível são hipérboles que se abrem ao longo do eixo
.
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