Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico

Passo 1

O exercício pede para a gente descrever as curvas de nível da função no plano e esboçar o gráfico dessa função. Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e geometria analítica para entender melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Isso significa que para cada valor fixo , temos .

Passo 3

Aplicando isso à função , vamos igualar a função a uma constante :
Isso nos dá a equação .

Passo 4

A equação representa uma reta que passa pela origem com inclinação . Cada valor diferente de gera uma reta diferente. Portanto, as curvas de nível de são todas as retas que passam pela origem.

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da função . Cada ponto no gráfico satisfaz a relação , onde é o valor da função.

Passo 6

Visualizando isso em três dimensões, o gráfico consiste em um conjunto de retas inclinadas que se cruzam na origem. Cada reta corresponde a um valor constante de , formando uma espécie de “folha” que se estende ao longo do eixo .

Resposta

As curvas de nível da função são todas as retas que passam pela origem, com equação para diferentes constantes . O gráfico da função em é formado por um conjunto de retas inclinadas que se cruzam na origem, representando as diferentes relações entre e .

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