Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
Passo 1
O exercício pede para a gente descrever as curvas de nível da função
no plano
e esboçar o gráfico dessa função. Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e geometria analítica para entender melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Isso significa que para cada valor fixo
, temos
.
Passo 3
Aplicando isso à função
, vamos igualar a função a uma constante
:
Isso nos dá a equação
.
Passo 4
A equação
representa uma reta que passa pela origem com inclinação
. Cada valor diferente de
gera uma reta diferente. Portanto, as curvas de nível de
são todas as retas que passam pela origem.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
. Cada ponto
no gráfico satisfaz a relação
, onde
é o valor da função.
Passo 6
Visualizando isso em três dimensões, o gráfico consiste em um conjunto de retas inclinadas que se cruzam na origem. Cada reta corresponde a um valor constante de
, formando uma espécie de “folha” que se estende ao longo do eixo
.
Resposta
As curvas de nível da função
são todas as retas que passam pela origem, com equação
para diferentes constantes
. O gráfico da função em
é formado por um conjunto de retas inclinadas que se cruzam na origem, representando as diferentes relações entre
e
.
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Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)
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e
Determine a imagem das função
e