Determine a imagem das função

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. A função que temos é . O conteúdo envolvido aqui é o de funções de duas variáveis e a definição de imagem de uma função. Para resolver, vamos precisar saber como determinar todos os possíveis valores que a função pode assumir.

Passo 2

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída que a função pode produzir. No caso de , queremos saber quais são todos os possíveis valores que pode ter quando e variam sobre todos os números reais.

Passo 3

Vamos analisar a expressão dentro da raiz: . Sabemos que qualquer número ao quadrado é sempre maior ou igual a zero, ou seja, e . Portanto, a soma também será sempre maior ou igual a zero.

Passo 4

Agora, olhando para a raiz quadrada: . A raiz quadrada de um número não negativo é também um número não negativo. Isso significa que .

Passo 5

Vamos verificar se todos os números não negativos podem ser alcançados pela função. Para qualquer número real não negativo , podemos escolher valores de e de forma que . Por exemplo, se escolhermos e , então . Isso mostra que qualquer número não negativo pode ser obtido.

Resposta

A imagem da função é o conjunto de todos os números reais não negativos, ou seja, .

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