Determine a imagem das função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. A função que temos é
. O conteúdo envolvido aqui é o de funções de duas variáveis e a definição de imagem de uma função. Para resolver, vamos precisar saber como determinar todos os possíveis valores que a função pode assumir.
Passo 2
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída que a função pode produzir. No caso de
, queremos saber quais são todos os possíveis valores que
pode ter quando
e
variam sobre todos os números reais.
Passo 3
Vamos analisar a expressão dentro da raiz:
. Sabemos que qualquer número ao quadrado é sempre maior ou igual a zero, ou seja,
e
. Portanto, a soma
também será sempre maior ou igual a zero.
Passo 4
Agora, olhando para a raiz quadrada:
. A raiz quadrada de um número não negativo é também um número não negativo. Isso significa que
.
Passo 5
Vamos verificar se todos os números não negativos podem ser alcançados pela função. Para qualquer número real não negativo
, podemos escolher valores de
e
de forma que
. Por exemplo, se escolhermos
e
, então
. Isso mostra que qualquer número não negativo pode ser obtido.
Resposta
A imagem da função
é o conjunto de todos os números reais não negativos, ou seja,
.
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