Determine a imagem das função
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a imagem da função
considerando que
,
e
. Isso significa que vamos descobrir quais valores
pode assumir dentro dessas restrições. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e restrições de domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a “imagem” de uma função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode ter, dados os valores de entrada dentro do domínio especificado. No nosso caso, a função depende de
e
, mas vamos observar que
só depende de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar as restrições do domínio:
Como a função
só depende de
, podemos focar nas restrições que afetam
.
Passo 4
Da terceira restrição
e sabendo que
, podemos deduzir que
não pode ser maior que 1. Ou seja,
. Então, combinando com a primeira restrição, temos que
varia de 0 a 1:
Passo 5
Agora, substituímos os limites de
na função
:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 6
Como
varia continuamente de 0 a 1,
também varia de 1 a 0 de forma contínua. Portanto, todos os valores entre 0 e 1 são possíveis para
.
Resposta
A imagem da função
é o intervalo
.
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Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)
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Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
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