Determine a imagem das função e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a imagem da função considerando que , e . Isso significa que vamos descobrir quais valores pode assumir dentro dessas restrições. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e restrições de domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a “imagem” de uma função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode ter, dados os valores de entrada dentro do domínio especificado. No nosso caso, a função depende de e , mas vamos observar que só depende de .

Passo 3

Agora, vamos analisar as restrições do domínio:
Como a função só depende de , podemos focar nas restrições que afetam .

Passo 4

Da terceira restrição e sabendo que , podemos deduzir que não pode ser maior que 1. Ou seja, . Então, combinando com a primeira restrição, temos que varia de 0 a 1:

Passo 5

Agora, substituímos os limites de na função :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 6

Como varia continuamente de 0 a 1, também varia de 1 a 0 de forma contínua. Portanto, todos os valores entre 0 e 1 são possíveis para .

Resposta

A imagem da função é o intervalo .

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