Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descrever as curvas de nível ou superfícies de nível da função e, especificamente no caso de , fazer um esboço do gráfico dessa função. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo multivariável, mais precisamente o estudo de curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas representam a função no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função tem o mesmo valor constante . Ou seja, para cada valor de , a equação nos dá uma curva no plano .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Queremos encontrar todas as curvas onde . Então, temos:
Vamos resolver essa equação para entender a forma das curvas.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação:
Essa é a equação de um círculo no plano com raio . Portanto, para cada valor de , a curva de nível é um círculo centrado na origem com raio , desde que (ou seja, ).

Passo 5

Isso significa que as curvas de nível da função são círculos concêntricos ao redor da origem, com raios que diminuem à medida que aumenta. Por exemplo:
  • Para : → círculo de raio 1.
  • Para : → círculo de raio .
  • E assim por diante, até se aproximar de 1, onde o raio tende a zero.

Passo 6

Agora, vamos esboçar o gráfico da função no caso de . Esse gráfico é uma superfície no espaço tridimensional. A equação representa um paraboloide de concavidade para baixo, pois os termos quadráticos têm sinais negativos.

Passo 7

No esboço, o ponto mais alto da superfície é no ponto . À medida que e se afastam da origem, o valor de diminui, formando uma “tigela” virada para baixo. As curvas de nível que desenhamos anteriormente são as interseções dessa superfície com planos horizontais .

Resposta

As curvas de nível da função são círculos centrados na origem com raio para cada constante . O gráfico da função no plano é um paraboloide de concavidade para baixo, com o ponto mais alto em e curvas de nível que são círculos concêntricos a partir desse ponto.

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