Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descrever as curvas de nível ou superfícies de nível da função
e, especificamente no caso de
, fazer um esboço do gráfico dessa função. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo multivariável, mais precisamente o estudo de curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas representam a função no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função
tem o mesmo valor constante
. Ou seja, para cada valor de
, a equação
nos dá uma curva no plano
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos encontrar todas as curvas onde
. Então, temos:
Vamos resolver essa equação para entender a forma das curvas.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação:
Essa é a equação de um círculo no plano
com raio
. Portanto, para cada valor de
, a curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
, desde que
(ou seja,
).
Passo 5
Isso significa que as curvas de nível da função
são círculos concêntricos ao redor da origem, com raios que diminuem à medida que
aumenta. Por exemplo:
- Para
: → círculo de raio 1. - Para
: → círculo de raio . - E assim por diante, até
se aproximar de 1, onde o raio tende a zero.
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
no caso de
. Esse gráfico é uma superfície no espaço tridimensional. A equação
representa um paraboloide de concavidade para baixo, pois os termos quadráticos têm sinais negativos.
Passo 7
No esboço, o ponto mais alto da superfície é no ponto
. À medida que
e
se afastam da origem, o valor de
diminui, formando uma “tigela” virada para baixo. As curvas de nível que desenhamos anteriormente são as interseções dessa superfície com planos horizontais
.
Resposta
As curvas de nível da função
são círculos centrados na origem com raio
para cada constante
. O gráfico da função no plano
é um paraboloide de concavidade para baixo, com o ponto mais alto em
e curvas de nível que são círculos concêntricos a partir desse ponto.
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