Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=||x-1|-1|+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para descrever o domínio e a imagem da função . Esse exercício está relacionado ao estudo de funções, especificamente envolvendo valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam as operações com valores absolutos e como elas afetam o domínio e a imagem da função.

Passo 2

Dominio da função:
Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (valores de ) para os quais a função está definida.
A função envolve apenas operações de subtração e valores absolutos, que são definidas para todos os números reais. Não há divisões por zero, raízes de números negativos ou outras operações que restrinjam o domínio. Portanto, o domínio de é:
í
Explicação Teórica: O valor absoluto de qualquer número real é sempre definido e não impõe restrições ao domínio.

Passo 3

Imagem da função:
Agora, vamos encontrar a imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de saída (valores de ) que a função pode assumir.
Vamos analisar a função passo a passo:
  1. Primeiro valor absoluto:
    • Essa expressão mede a distância de até 1 na linha numérica. O resultado é sempre não negativo.
  2. Subtraindo 1:
    • Dependendo do valor de , essa expressão pode ser positiva, negativa ou zero.
  3. Segundo valor absoluto:
    • Torna o resultado anterior não negativo novamente.
  4. Adicionando 1:
    • Isso desloca todo o gráfico da função para cima em 1 unidade.
Vamos considerar dois casos para :
  • Caso 1:
    • Aqui, , então:
    • Como , então .
  • Caso 2:
    • Aqui, , então:
    • Como , então e .
Conclusão dos Casos:
  • A menor valor que pode assumir é 1.
  • O maior valor é 2.
Portanto, a imagem da função é o intervalo fechado de 1 a 2:
Explicação Teórica: Analisando os diferentes casos dos valores absolutos, determinamos os limites inferiores e superiores que a função pode alcançar.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem:

Exercícios relacionados

Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=-1+\sqrt{x+1}
Enuncie o Teste Crescente/Decrescente.
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
x{2}+y{2}-\frac{2}{3} x+2 y-\frac{8}{9}=0