Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=||x-1|-1|+1
f(x)=||x-1|-1|+1
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para descrever o domínio e a imagem da função
. Esse exercício está relacionado ao estudo de funções, especificamente envolvendo valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam as operações com valores absolutos e como elas afetam o domínio e a imagem da função.
Passo 2
Dominio da função:
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (valores de
) para os quais a função está definida.
A função
envolve apenas operações de subtração e valores absolutos, que são definidas para todos os números reais. Não há divisões por zero, raízes de números negativos ou outras operações que restrinjam o domínio. Portanto, o domínio de
é:
Explicação Teórica: O valor absoluto de qualquer número real é sempre definido e não impõe restrições ao domínio.
Passo 3
Imagem da função:
Agora, vamos encontrar a imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de saída (valores de
) que a função pode assumir.
Vamos analisar a função passo a passo:
-
Primeiro valor absoluto:
- Essa expressão mede a distância de
até 1 na linha numérica. O resultado é sempre não negativo.
- Essa expressão mede a distância de
-
Subtraindo 1:
- Dependendo do valor de
, essa expressão pode ser positiva, negativa ou zero.
- Dependendo do valor de
-
Segundo valor absoluto:
- Torna o resultado anterior não negativo novamente.
-
Adicionando 1:
- Isso desloca todo o gráfico da função para cima em 1 unidade.
Vamos considerar dois casos para
:
-
Caso 1:
- Aqui,
, então:
- Como
, então .
- Aqui,
-
Caso 2:
- Aqui,
, então:
- Como
, então e .
- Aqui,
Conclusão dos Casos:
- A menor valor que
pode assumir é 1. - O maior valor é 2.
Portanto, a imagem da função é o intervalo fechado de 1 a 2:
Explicação Teórica: Analisando os diferentes casos dos valores absolutos, determinamos os limites inferiores e superiores que a função pode alcançar.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais) - Imagem:
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Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=-1+\sqrt{x+1}
f(x)=-1+\sqrt{x+1}
Enuncie o Teste Crescente/Decrescente.
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
x{2}+y{2}-\frac{2}{3} x+2 y-\frac{8}{9}=0
x{2}+y{2}-\frac{2}{3} x+2 y-\frac{8}{9}=0