Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
x{2}+y{2}-\frac{2}{3} x+2 y-\frac{8}{9}=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente obter as equações reduzidas e identificar a cônica da seguinte expressão:
Aqui, estamos lidando com Cônicas, que são curvas geradas pela interseção de um plano com um cone. As principais cônicas são círculo, elipse, parábola e hipérbole. Para identificar qual delas temos, vamos transformar essa equação na sua forma reduzida, que facilita a identificação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e . Completar o quadrado é uma técnica que transforma uma expressão quadrática em um quadrado perfeito, facilitando a identificação da cônica.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para o termo de :
Para completar, pegamos o coeficiente de (que é ), dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos :
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de :
Pegamos o coeficiente de (que é ), dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos :
Isso fica:

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
Vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, isolamos os termos com e :
Somando os lados direitos:
Então, temos:

Resposta

A equação reduzida é:
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio .

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Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=||x-1|-1|+1
Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=-1+\sqrt{x+1}