Descreva o domínio máximo possivel da função z = f(x, y) dada por:
(f) 4 x^2 + y^2 + z^2 = 1, z <= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descrever o domínio da função dada pela equação com a condição . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas.

Passo 2

Primeiro, queremos isolar na equação para expressar como função de e . Vamos rearranjar a equação:

Passo 3

Agora, para resolver , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Mas lembre-se da condição , então escolhemos somente a solução negativa:

Passo 4

Para que seja um número real, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero:

Passo 5

Vamos rearranjar essa desigualdade para encontrar o domínio de :

Passo 6

Essa desigualdade representa uma elipse no plano . Portanto, os valores de e devem satisfazer para que seja real e .

Resposta

O domínio máximo possível da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem .

Exercícios relacionados

Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
a) lim (x, y) (0,0) e^-1 /(x^2+y^2)
Mostre que a interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto. Mostre também que a reunião de dois conjuntos fechados é um conjunto fechado.
Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(g) γ(t) = (cos(t), sen(t), e^(-t)), t ≥ 0
Mostre que o conjunto A = {(x, y) em R^2 ; max(|x|, |y|) < 1} é aberto.