Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(g) γ(t) = (cos(t), sen(t), e^(-t)), t ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos o traço da curva definida por para . A matéria que vamos mexer aqui é de Geometria Analítica no espaço tridimensional, onde trabalhamos com curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente da curva se comporta conforme varia.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada componente da curva separadamente:
Os componentes e formam um círculo no plano , porque . Isso significa que, se ignorarmos o , a curva fica fazendo um movimento circular.

Passo 3

Agora, vamos analisar o componente . A função exponencial decresce conforme aumenta. Isso significa que, à medida que a curva avança no tempo, ela desce cada vez mais no eixo .

Passo 4

Juntando tudo, a curva faz um movimento circular no plano enquanto desce exponencialmente no eixo . Isso dá uma forma de espiral que se aproxima do plano conforme aumenta, mas nunca realmente chega lá porque nunca é exatamente zero.

Resposta

O traço da curva para é uma espiral que dá voltas circulares no plano enquanto desce exponencialmente no eixo , aproximando-se cada vez mais do plano conforme aumenta.

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(f) 4 x^2 + y^2 + z^2 = 1, z <= 0
Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
a) lim (x, y) (0,0) e^-1 /(x^2+y^2)
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