Mostre que o conjunto A = {(x, y) em R^2 ; max(|x|, |y|) < 1} é aberto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto é aberto. Isso está ligado ao conteúdo de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um conjunto aberto em e como verificar se todos os pontos de têm um entorno que ainda está dentro de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Em , um conjunto é aberto se, para todo ponto dentro dele, existe um “círculo” (ou qualquer entorno) ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Formalmente, um conjunto é aberto se, para todo , existe um tal que todos os pontos a uma distância menor que de também estão em .

Passo 3

Vamos pegar um ponto qualquer em . Pelo enunciado, sabemos que . Isso significa que tanto quanto . Agora, queremos encontrar um tal que qualquer ponto que esteja a uma distância menor que de também satisfaça .

Passo 4

Para garantir que , precisamos que e . Como e , podemos definir como a menor distância que está das “bordas” do conjunto . Ou seja:
Assim, qualquer ponto dentro de uma distância de terá e , garantindo que esteja em .

Passo 5

Como mostramos que para qualquer ponto em existe um tal que o entorno de está totalmente dentro de , concluímos que é um conjunto aberto.

Resposta

O conjunto é aberto.

Exercícios relacionados

Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(g) γ(t) = (cos(t), sen(t), e^(-t)), t ≥ 0
Descreva o domínio máximo possivel da função z = f(x, y) dada por:
(f) 4 x^2 + y^2 + z^2 = 1, z <= 0
Mostre que a fronteira da bola aberta B(x0, r) é a esfera S(x0, r) = {x ∈ R^n ; ||x - x0|| = r}.
Determine se a série converge ou diverge.
sumn=2^infty n^3n^4-1