Mostre que o conjunto
é aberto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto
é aberto. Isso está ligado ao conteúdo de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um conjunto aberto em
e como verificar se todos os pontos de
têm um entorno que ainda está dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Em
, um conjunto é aberto se, para todo ponto dentro dele, existe um “círculo” (ou qualquer entorno) ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Formalmente, um conjunto
é aberto se, para todo
, existe um
tal que todos os pontos a uma distância menor que
de
também estão em
.
Passo 3
Vamos pegar um ponto qualquer
em
. Pelo enunciado, sabemos que
. Isso significa que tanto
quanto
. Agora, queremos encontrar um
tal que qualquer ponto
que esteja a uma distância menor que
de
também satisfaça
.
Passo 4
Para garantir que
, precisamos que
e
. Como
e
, podemos definir
como a menor distância que
está das “bordas” do conjunto
. Ou seja:
Assim, qualquer ponto
dentro de uma distância
de
terá
e
, garantindo que
esteja em
.
Passo 5
Como mostramos que para qualquer ponto
em
existe um
tal que o entorno de
está totalmente dentro de
, concluímos que
é um conjunto aberto.
Resposta
O conjunto
é aberto.
Exercícios relacionados
Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(g)
(g)
Descreva o domínio máximo possivel da função
dada por:
(f)
(f)
Mostre que a fronteira da bola aberta
é a esfera
.
Determine se a série converge ou diverge.