Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
a) lim (x, y) (0,0) e^-1 /(x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está na área de Cálculo Multivariável, especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que está acontecendo dentro do exponencial: . À medida que se aproxima de , o denominador fica cada vez menor, vindo perto de zero. Isso faz com que cresça sem limite, ou seja, tende ao infinito.

Passo 3

Agora, temos . Sabemos que tende a zero quando tende ao infinito. Então, como tende a menos infinito, vai tender a zero.

Passo 4

Para confirmar, podemos considerar diferentes caminhos que pode seguir para chegar a . Não importa o caminho escolhido, o comportamento de sempre leva a menos infinito, fazendo com que a função exponencial sempre tenda a zero.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Mostre que a interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto. Mostre também que a reunião de dois conjuntos fechados é um conjunto fechado.
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
l) f(x, y) = x * y
Descreva o domínio máximo possivel da função z = f(x, y) dada por:
(f) 4 x^2 + y^2 + z^2 = 1, z <= 0
Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(g) γ(t) = (cos(t), sen(t), e^(-t)), t ≥ 0