Mostre que a interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto. Mostre também que a reunião de dois conjuntos fechados é um conjunto fechado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar duas coisas:
- A interseção de dois conjuntos abertos é também um conjunto aberto.
- A união de dois conjuntos fechados é também um conjunto fechado.
Vamos usar conceitos básicos de topologia, que estuda propriedades dos espaços que permanecem invariantes sob deformações contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são conjuntos abertos e fechados e como eles se comportam em operações de interseção e união.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em termos simples, um conjunto aberto em um espaço métrico (como a reta real) é aquele onde, para todo ponto dentro do conjunto, existe uma “bolinha” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto.
Agora, queremos mostrar que a interseção de dois conjuntos abertos é aberta. Vamos chamar nossos conjuntos abertos de
e
.
Seja
um ponto na interseção
. Como
está em
e em
, existem raios
e
tais que as bolas abertas
e
. Podemos escolher
, assim a bola
estará tanto em
quanto em
, ou seja, em
. Portanto, todo ponto em
tem uma bola aberta ao seu redor contida em
, o que significa que
é aberto.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que a união de dois conjuntos fechados é fechada. Primeiro, vamos lembrar que um conjunto fechado é aquele que contém todos os seus pontos de limite, ou seja, se uma sequência de pontos no conjunto converge para algum ponto, esse ponto também está no conjunto.
Vamos chamar nossos conjuntos fechados de
e
. Queremos mostrar que
é fechado. Para isso, precisamos verificar que se uma sequência
está em
e converge para um ponto
, então
também está em
.
Como
e
são fechados, se a sequência
estiver toda em
, então
estará em
. Se estiver toda em
,
estará em
. Se a sequência tiver termos em
e em
, então pelo fato de
e
serem fechados, o limite
deve estar pelo menos em um deles, garantindo que
está em
. Assim,
é fechado.
Resposta
Mostramos que a interseção de dois conjuntos abertos é aberta e que a união de dois conjuntos fechados é fechada, utilizando definições fundamentais de topologia e propriedades dessas operações.
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a)
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dada por:
(f)
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