Descreva os elementos do anel quociente A / I quando: A=3 Z e I=9 Z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descrever os elementos do anel quociente onde e . Isso envolve entender conceitos de anéis e ideais, especialmente como formar um anel quociente. Vamos precisar saber o que são múltiplos de números inteiros e como os quocientes funcionam nesses contextos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e . Aqui, significa todos os múltiplos de 3, ou seja, . Já são todos os múltiplos de 9: .

Passo 3

Agora, o anel quociente consiste nos “conjuntos” (ou classes) de onde dois elementos de são considerados iguais se a diferença entre eles está em . Em outras palavras, estamos agrupando os múltiplos de 3 que diferem por um múltiplo de 9.

Passo 4

Vamos identificar essas classes. Pegamos elementos de e vemos suas equivalências modulo :
  • A classe de 0: todos os múltiplos de 9 (já que ).
  • A classe de 3: números como 3, 12, 21, etc., que são 3 mais um múltiplo de 9.
  • A classe de 6: números como 6, 15, 24, etc., que são 6 mais um múltiplo de 9.

Passo 5

Portanto, no anel quociente , existem três classes distintas:
Essas são as únicas classes porque qualquer múltiplo de 3 será equivalente a um desses três, já que está em .

Resposta

Os elementos do anel quociente são as classes , e .

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