Descreva os elementos do anel quociente
quando:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descrever os elementos do anel quociente
onde
e
. Isso envolve entender conceitos de anéis e ideais, especialmente como formar um anel quociente. Vamos precisar saber o que são múltiplos de números inteiros e como os quocientes funcionam nesses contextos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
. Aqui,
significa todos os múltiplos de 3, ou seja,
. Já
são todos os múltiplos de 9:
.
Passo 3
Agora, o anel quociente
consiste nos “conjuntos” (ou classes) de
onde dois elementos de
são considerados iguais se a diferença entre eles está em
. Em outras palavras, estamos agrupando os múltiplos de 3 que diferem por um múltiplo de 9.
Passo 4
Vamos identificar essas classes. Pegamos elementos de
e vemos suas equivalências modulo
:
- A classe de 0: todos os múltiplos de 9 (já que
). - A classe de 3: números como 3, 12, 21, etc., que são 3 mais um múltiplo de 9.
- A classe de 6: números como 6, 15, 24, etc., que são 6 mais um múltiplo de 9.
Passo 5
Portanto, no anel quociente
, existem três classes distintas:
Essas são as únicas classes porque qualquer múltiplo de 3 será equivalente a um desses três, já que
está em
.
Resposta
Os elementos do anel quociente
são as classes
,
e
.