Descreva como podemos calcular o comprimento de uma curva polar
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o comprimento de uma curva que está descrita em coordenadas polares, ou seja, onde a posição de cada ponto na curva é dada por
para
variando de
até
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo e entender como medir distâncias em coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares, para calcular o comprimento de uma curva
entre os ângulos
e
, usamos a fórmula do comprimento de arco adaptada para polares. A fórmula é:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, que mostra como
muda conforme
varia.
Passo 3
Vamos entender os componentes da fórmula:
-
Derivada
: Ela indica a taxa de variação de com respeito a . Se muda rapidamente, essa derivada será grande, indicando uma curva mais “esticada”. -
Termo
: Representa a contribuição do próprio raio para o comprimento total da curva. -
Integral: A integral de
a soma todas as pequenas partes do comprimento da curva entre esses ângulos.
A expressão dentro da raiz quadrada combina essas duas contribuições (a variação de
e o próprio raio) para calcular um pequeno segmento do comprimento da curva, e a integral soma todos esses segmentos para obter o comprimento total.
Resposta
O comprimento da curva polar
para
entre
e
é dado por: