Descreva como podemos calcular o comprimento de uma curva polar r = f(θ), a <= θ <= b.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o comprimento de uma curva que está descrita em coordenadas polares, ou seja, onde a posição de cada ponto na curva é dada por para variando de até . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo e entender como medir distâncias em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, para calcular o comprimento de uma curva entre os ângulos e , usamos a fórmula do comprimento de arco adaptada para polares. A fórmula é:
Aqui, representa a derivada de em relação a , que mostra como muda conforme varia.

Passo 3

Vamos entender os componentes da fórmula:
  1. Derivada : Ela indica a taxa de variação de com respeito a . Se muda rapidamente, essa derivada será grande, indicando uma curva mais “esticada”.
  2. Termo : Representa a contribuição do próprio raio para o comprimento total da curva.
  3. Integral: A integral de a soma todas as pequenas partes do comprimento da curva entre esses ângulos.
A expressão dentro da raiz quadrada combina essas duas contribuições (a variação de e o próprio raio) para calcular um pequeno segmento do comprimento da curva, e a integral soma todos esses segmentos para obter o comprimento total.

Resposta

O comprimento da curva polar para entre e é dado por:

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