Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
d)

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto é um subanel e/ou ideal do anel . Aqui, estamos trabalhando com a teoria dos anéis, que é uma parte da álgebra abstrata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subanéis e ideais e verificar se o conjunto satisfaz as propriedades necessárias para cada um desses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subanel. Um subanel de um anel é um subconjunto de que é fechado sob adição e multiplicação, e contém o elemento neutro de adição (que, no caso de , é 0). Além disso, para ser um subanel, deve ser um grupo abeliano sob adição e ser fechado sob multiplicação.

Passo 3

Vamos verificar se é fechado sob adição. Se pegarmos dois elementos quaisquer de , digamos e , onde são inteiros, a soma fica:
Como e são inteiros, a soma também está em . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar se contém o elemento neutro da adição, que é 0. Se escolhermos e , obtemos , que pertence a . Então, contém o elemento neutro da adição.

Passo 5

Em seguida, vamos conferir se é fechado sob multiplicação. Multiplicando dois elementos de :
Simplificando:
Como e são inteiros, o produto também está em . Assim, é fechado sob multiplicação.

Passo 6

Como é fechado sob adição, contém o elemento neutro da adição e é fechado sob multiplicação, podemos concluir que é um subanel de .

Passo 7

Agora, vamos verificar se é um ideal. Para ser um ideal, além de ser um subanel, ele deve satisfazer que, para todo e todo , o produto está em .

Passo 8

Vamos testar isso. Seja arbitrário e . O produto é:
Para estar em , tanto quanto precisariam ser inteiros. Mas é qualquer número real, não necessariamente inteiro, então e podem não ser inteiros. Portanto, nem sempre está em .

Resposta

O conjunto é um subanel de , mas não é um ideal.

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f)