Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
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Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
é um subanel e/ou ideal do anel
. Aqui, estamos trabalhando com a teoria dos anéis, que é uma parte da álgebra abstrata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subanéis e ideais e verificar se o conjunto
satisfaz as propriedades necessárias para cada um desses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subanel. Um subanel de um anel
é um subconjunto
de
que é fechado sob adição e multiplicação, e contém o elemento neutro de adição (que, no caso de
, é 0). Além disso, para ser um subanel,
deve ser um grupo abeliano sob adição e ser fechado sob multiplicação.
Passo 3
Vamos verificar se
é fechado sob adição. Se pegarmos dois elementos quaisquer de
, digamos
e
, onde
são inteiros, a soma fica:
Como
e
são inteiros, a soma também está em
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
contém o elemento neutro da adição, que é 0. Se escolhermos
e
, obtemos
, que pertence a
. Então,
contém o elemento neutro da adição.
Passo 5
Em seguida, vamos conferir se
é fechado sob multiplicação. Multiplicando dois elementos de
:
Simplificando:
Como
e
são inteiros, o produto também está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação.
Passo 6
Como
é fechado sob adição, contém o elemento neutro da adição e é fechado sob multiplicação, podemos concluir que
é um subanel de
.
Passo 7
Agora, vamos verificar se
é um ideal. Para ser um ideal, além de
ser um subanel, ele deve satisfazer que, para todo
e todo
, o produto
está em
.
Passo 8
Vamos testar isso. Seja
arbitrário e
. O produto é:
Para
estar em
, tanto
quanto
precisariam ser inteiros. Mas
é qualquer número real, não necessariamente inteiro, então
e
podem não ser inteiros. Portanto,
nem sempre está em
.
Resposta
O conjunto
é um subanel de
, mas não é um ideal.
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