Descreva e esboce o domínio da função real de duas ou três variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descrever e desenhar o domínio da função de três variáveis:
A gente vai trabalhar com o conteúdo de domínio de funções multivariadas. Precisamos garantir que todas as partes da função estejam bem definidas, ou seja, que as raízes quadradas sejam válidas e que não tenhamos divisão por zero.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as raízes quadradas no numerador:
Para que essas raízes sejam reais, o que está dentro delas precisa ser maior ou igual a zero.
Para
:
Isso significa que
deve estar entre -2 e 2:
Para
:
Então,
deve estar entre -3 e 3:
Passo 3
Agora, vamos ver a raiz no denominador:
Além de precisar ser real, ela não pode ser igual a zero porque está no denominador.
Então, para
ser real:
Isso quer dizer que
deve estar entre -1 e 1, mas sem incluir -1 e 1:
Passo 4
Agora, juntando todas essas condições, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem:
Isso descreve um paralelepípedo no espaço tridimensional, limitado por esses intervalos para cada variável.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os números reais
que satisfazem:
Ou seja,